Correction Bac Amérique du Sud Novembre 2003

Calculatrice autorisée

 

I ) Le radon : un danger méconnu (4 points)

II ) Le grand saut : une chute libre ? (5,5 points)

III ) Hémisynthèse de l'aspirine au laboratoire (6,5 points)
I ) (spe) Lunette ou télescope (4 points)

 

Correction Amérique du Sud Novembre 2003 - I ) Le radon : un danger méconnu:

I ) La désintégration du « radon 222 »

1) Le noyau ²²²₈₆Rn  contient 86 protons ( Z = 86) et 136 neutrons ( A – Z = 136)

2) Le texte indique que l'uranium se désintègre en créant des particules α et un noyau ²²²₈₆Rn

D'après les lois de Soddy, il y a conservation du nombre global de charge et du nombre global de nucléons .

équation : ²²²₈₆Rn → ^A_ZX + ⁴₂He

D'après les lois de conservation, A + 4 = 222,  A = 218 et Z + 2 = 86,  Z = 84.

Le noyau fils est donc ²¹⁸₈₄Po .  Equation : ²²²₈₆Rn →²¹⁸₈₄Po+ ⁴₂He

 

3) Un gaz peut se s'infiltrer dans la moindre fissure ou dans un petit trou, il se répandre partout.

Il peut se trouver dans l'environnement d'une personne qui peut le respirer.

Or les particules α sont très dangereuses car très ionisantes si on est à leur contact.

II ) Qualité de l’air dans une cave.

1) a) Le temps de demi-vie du radon est très supérieur à la durée de l’expérience.

Le nombre d’événements détectés par seconde varie car le phénomène radioactif est aléatoire, on ne peut pas prévoir quand il va se produire. Ainsi le nombre d'événements n'est pas toujours le même . On peut cependant faire des études statistiques.

b) n = Σ n_i / 20 = (5+8+9+1+12+8+14+9+12+4+9+8+6+9+10+4+9+8+10+6)/ 20 = 161/20 = 8,05

écart-type :  σ = 2,99

 

2) a) A = k . n = 80 x 8,05 = 644 Bq.m^-3.

b) Après cette étude, les conclusions du technicien sont que la qualité de l’air dans la cave n'est pas bonne, l’activité volumique moyenne dépasse 400 becquerels par mètre cube , il faut donc mettre en place une ventilation efficace.

III ) Détermination du temps de demi-vie du radon 222

1) a) D'après la loi de décroissance radioactive, lnA = - λ . t + ln A₀

Ceci correspond à l'équation d'une droite de pente négative - λ

b) pente :  k = - λ = [ln A(200) – ln(0) ] / ( 0,0 – 200 ) = -(6,45 – 4,95) / 200 = - 7,50.10^-3

λ = 7,50.10³ h^-1

 

2) Le temps de demi-vie t_1/2 du radon est la durée pendant laquelle la moitié des noyaux radioactifs initialement présents se sont désintégrés.

t_1/2 = ln 2 / λ = ln 2 / 7,50.10^-3 = 92,4 h = 92,4 / 24 = 3,85 j

Cette valeur correspond à celle donnée dans le texte encadré.

 

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Correction Amérique du Sud Novembre 2003 - II ) Le grand saut : une chute libre ?

I ) Recherche de la trajectoire d'une chute libre avec vitesse initiale.

1) a) Au sens des physiciens, une chute est libre si le poids est la seule force extérieure exercée sur le système

b) Deuxième loi de Newton appliquée au sauteur dans le référentiel terrestre supposé galiléen :

m. a = P = m.g ; a = g  ;   a_x = g_x = 0    et   a_z = g_z = - g

2) D'après l'énoncé, v₀ = v_avion (on néglige à cet instant la vitesse du sauteur par rapport à l'avion devant la vitesse de l'avion par rapport au sol)

v_0x = v₀ = 130 km.h^-1 = 130 000 / 3600 = 36,1 m.s^-1    et v_0z = 0

3) a) a_x = dv_x/dt = 0  ;  v_x = v_0x = v₀    et   a_z = dv_z/dt = - g  ;  v_z = - g.t + v_0z = - g.t

v_x = dx/dt = v₀            ; x(t) = v₀.t + x₀ = v₀.t     ( x₀ = 0 m)

v_z = dz/dt = - g.t         ; z(t) = - ½ g.t² + z₀ = - ½ g.t² + h₀

b) t = x(t) / v₀   ;   z(t) = - ½ g.(x / v₀)² + h₀ = - ½ g.x² / v₀² + h₀

D'après l'équation, une telle portion de courbe est une portion de parabole

c) h₁ = 1,0.10³ m = z(t₁) = - ½ g.t₁² + h₀  ;  t₁ = [2(h₀ – h₁)/g]

t₁ = [2 x ( 3,0.10³ – 1,0.10³) / 9,8] = 20 s

II ) La chute est-elle réellement libre ?

1) a) On applique le théorème de l'énergie cinétique dans le référentiel terrestre galiléen :

Ec₁ – Ec₀ = W_0-1(P) = m.g.(h₀ - h₁) = E_{pp 0} - E_{pp 1}

Em₁ = Em₀ . L'énergie mécanique se conserve.

b) Em₁ = Em₀   ;  Ec₁ + Ep₁ = Ec₀ + Ep₀    ;   ½ m.v₁² + m.g.h₁ =  ½ m.v₀² + m.g.h₀

v₁ = ( v₀² + 2g.(h₀ – h₁)) = ( 36,1² + 2 x 9,8 x ( 3,0.10³ – 1,0.10³)) = 201 m.s^-1 

Cet écart est dû aux forces de frottements de l'air qui ne sont plus négligeables à mesure que la vitesse augmente, elles freinent le sauteur. La chute n'est plus libre car une autre force que le poids s'exerce sur le sauteur.

III ) Ouverture du parachute.

1) Analyse dimensionnelle  :  [K] = [F/(ρ.v²)]   ;  [F] = M.L.T^-2    ( 1 N =  1 kg.m.s^–2) 

( M : dimension d'une masse , L : dimension d'une longueur , T : dimension d'un temps )

[ρ] = M.L^-3    et  [v] = L.T^-1   ;  [K] =  M.L.T^-2 / ((M.L^-3).(L.T^-1)² ) = M.L.T^-2 / (M.L^-1.T^-2) = L²

K se mesure donc en m²

2) Deuxième loi de Newton appliquée au sauteur dans le référentiel terrestre supposé galiléen :

P + F = m. a                  La chute étant verticale, a = a_Z = dv/dt

Projection sur l'axe Oz :    - m.g + ½ K.ρ.v² = m.a = m.dv/dt  ;   dv/dt – K.ρ.v²/2m = - g

3) Lorsque la vitesse se stabilise, dv/dt s'annule , on a :  - K.ρ.v₂²/2m = - g

v₂ = (2 m.g / (K.ρ)) = (2 x 90 x 9,8 / (38 x 1,3)) = 6,0 m.s^-1 

4) D'après la figure 2, z est proportionnelle à t, la courbe a pour équation : z = k . t + z_i

Calcul de k :   k = Δz / Δt = (z(200) – z(100)) / (200 – 100 ) = (50 – 650) / 100 = - 6,0

Or ici, la vitesse est constante, on a donc k = - v₂ .   v₂ = 6,0 m.s^-1 

Cette valeur correspond au calcul précédent.

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Correction Amérique du Sud Novembre 2003 - III ) Hémisynthèse de l'aspirine au laboratoire :

 

II ) 1) Cette réaction est une estérification. 2)

 

3) L'estérification est lente et limitée par l'hydrolyse de l'ester.

III ) Etude théorique de la réaction entre l'acide acétique et l'acide salicylique :

1)

Equation	ROH    +    R'CO2H    =    R'CO2R    +    H2O
Quantité de matière dans l'état initial (en mol)	0,10	0,10	0,00	0,00
Quantité de matière en cours de transformation (en mol)	0,10 – x	0,10 – x	x	x
Quantité de matière théorique dans l'état final (en mol)	0,10 – xmax	0,10 – xmax	xmax	xmax
Quantité de matière dans l'état final (en mol)	0,10 – xf	0,10 – xf	xf	xf

 

2) a) Q_r = ([R'CO₂R].[H₂O]) / ([R'CO₂H].[ROH]) = (n(R'CO₂R).n(H₂O)) / (n(R'CO₂H).n(ROH))

Q_r = x² / (0,10 – x)²

b) Q_{r, i} = 0,00

c) Q_r,i < K , la réaction évolue donc dans le sens direct de l'équation (sens de l'estérification).

 

3) a) D'après la question 2)a), si x = x_f , on a : Q_r,f = [ x_f / (0,10 - x_f )]²

Or l'état final est l'état d'équilibre. K = Q_r,f = [ x_f / (0,10 - x_f )]²

b) K = x_f / (0,10 - x_f ) = 1 / ( 0,10/x_f – 1 )  ; 0,10/x_f – 1 = 1 / K

0,10/x_f = 1 + 1 / K  ;   x_f = 0,10 / ( 1 + 1/ K )

x_f = 0,10 / ( 1 + 1/ (7,0.10^-3)) = 7,7.10^-3 mol

e) Le taux d'avancement final de la réaction est le rapport de x_f sur x_max. τ = x_f / x_max

d) Si la réaction était totale , les quantités finales des réactifs seraient nulles (les quantités initiales sont en proportion stoechiométrique),

0,10 – x_max = 0  ;  x_max = 0,10 mol

τ = x_f / x_max = 7,7.10^-3 / 0,10 = 7,7.10^-2 = 7,7 %  < 8 %

IV) Une autre méthode de préparation :

1) Questions concernant le protocole opératoire.

a) Il s'agit d'un montage à reflux.

b) Le réfrigérant sert à recondenser les vapeurs créées.

c) On chauffe le mélange réactionnel pour accélérer la réaction.

d) L'acide sulfurique est un catalyseur de la réaction. Il accélère la réaction sans la modifier.

e) On utilise un ballon bien sec car la présence d'eau provoquerait l'hydrolyse de l'anhydride acétique.

f) Ces produits chimiques sont corrosifs, il faut donc porter une blouse, des gants et des lunettes.

 

2) a) n_anh.i = m_anh. / M_anh. = ρ_anh..V_anh. / M_anh. = 1,08 x 12 / 102 = 0,13 mol

n_ac.i = m_ac. / M_ac. = 10,0 / 138 = 7,2.10^-2 mol

D'après l'équation, les coefficients stœchiométriques sont égaux à 1, l'acide salicylique est donc en défaut et l'anhydride acétique est donc en excès.

b) En considérant cette transformation comme totale, la quantité finale d'acide salicylique est nulle.  n_ac.f = n_{ac. i} – x_max = 0.    

x_max = n_ac.i = 7,2.10^-2 mol

n_asp.f = x_max = 7,2.10^-2 mol.   m_th = n_{asp f} . M_asp. = 7,2.10^-2 x 180 = 13 g

c) Le rendement est le rapport de la quantité d'aspirine obtenue sur la quantité d'aspirine théoriquement obtenue si la réaction était totale.   

rendement = n_exp. / n_th = m_exp. / m_th = 10,8 / 13 = 0,83 = 83 %

 

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Correction Amérique du Sud Novembre 2003 - I ) Lunette ou télescope (spécialité) :

I ) Une lunette astronomique :

1.1) Le diamètre apparent est l'angle avec lequel la Lune est vu à l'œil nu.

D : distance Terre - Lune

 

 

1.2) tan α = AB / D  ;  α étant petit, tan α ≈ α ;  α ≈ AB / D

AB ≈ D . α ≈ 3,8.10⁸ x 9,3.10^-3 ≈ 3,5.10⁶ m

 

2.1) AB étant à l'infini, l'image A₁B₁ est située dans le plan focal image de la lentille L₁.

2.2) D'après la figure 1, tan α = A₁B₁ / O₁F₁'   ;  tan α ≈ α 

A₁B₁ ≈ α . f₁ ≈ 9,3.10^-3 x 100 ≈ 0,93 cm

3.1) Pour que A'B' soit rejetée à l'infini, A₁B₁ doit se situer dans le plan focal objet de la lentille L₂

3.2) Le foyer F₂ doit donc être confondu avec F₁' et F'₂ est le symétrique de F₂ par rapport à la lentille L₂.

3.3) voir figure 1.

4.1) D'après la figure 1, tan α' = A₁B₁ / O₂F₂ ; α' étant petit, tan α' ≈ α' ;  α' ≈ A₁B₁ / f₂

α' ≈ 0,93 / 10,0 = 0,093 rad

4.2) G = α' / α = 0,093 / 9,3.10^-3 = 10

4.3) D'après le texte : G = f₁ / f₂ = 100 / 10,0 = 10.  On obtient bien le même résultat.

II ) Un télescope :

1.1) D'après le texte, le rôle du miroir secondaire est de réfléchir la lumière reçue vers l'oculaire.

1.2) Dans un télescope, l'image d'un objet par le miroir sphérique est du même côté que l'objet, si on place l'oculaire sur le même axe optique, l'observateur et l'oculaire sont empêchés la lumière d'arriver sur le miroir, il faut donc dévier la lumière vers l'oculaire grâce à un petit miroir plan.

2.1) L'image A₂B₂ est le symétrique de A₁B₁ par rapport au miroir plan.

2.2) A₂B₂ étant dans le plan focal objet de l'oculaire, l'image A'B' est située à l'infini.

Feuille annexe relative à l'exercice I

Lunette ou télescope

A rendre avec la copie

 

 

 

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