1) Etude des caractéristiques du mouvement de Vénus

1.1) Le référentiel d'étude est le référentiel héliocentrique, constitué du centre du Soleil et de trois étoiles lointaines fixes.

1.2) La force exercée par le Soleil sur la planète Vénus est une force de gravitation F_{S
/ V} .

F_{S
/ V} = (G . M₁ . M₂ / R₂² ) . n

(repère de Frenet ( n , t ), n et t sont normés)

1.3) On applique la 2^ème loi de Newton à la planète Vénus dans le référentiel héliocentrique supposé galiléen. : F_{S
/ V} = M₂ . a

(G.M₁.M₂ / R₂² ) . n = M₂ . a ; a = (G.M₁ / R₂² ) . n

1.4) a = a_t . t + a_n . n ; a_t = dv₂/dt et a_n = v₂² / R₂

D'après la question précédente, a_t = 0 = dv₂/dt (mouvement uniforme) et a_n = G.M₁ / R₂²

Le vecteur accélération est centripète dirigé de Vénus vers le Soleil. a = a_n = G.M₁ / R₂²

a_n = G.M₁ / R₂² = v₂² / R₂ Þ v₂² = G.M₁ / R₂ ; v₂ = (G.M₁ / R₂)

Pour chaque application numérique, il faut vérifier les unités, ici R₂ doit être converti en m !

v₂ = (6,6.10^-11 x 2,0.10³⁰ / 1,0.10¹¹) = (13,2.10⁸) = 3,6.10⁴ m.s^-1 = 36 km.s^-1

1.5) La période de révolution T₂ de la planète Vénus est la durée nécessaire pour que Vénus parcourt un tour complet autour du Soleil.

La distance de révolution de Vénus est égale au périmètre du cercle de rayon R₂ : 2 p R₂

v₂ = 2 p R₂ / T₂ ; T₂ = 2 p R₂ / v₂

T₂ = 2 p 1,0.10¹¹ / 3,6.10⁴ = (2 p / 3,6) .10⁷ = 1,7.10⁷ s

1.6) T₂² = 4 p² R₂² / v₂² = 4 p² R₂² / (G.M₁ / R₂) = 4 p² R₂³ / (G.M₁)

T₂² / R₂³ = 4 p² / (G.M₁) ( 3^ème loi de Kepler)

M₁ = 4 p² R₂³ / (G.T₂²)

2) Exploitation du transit de Vénus

2.1) AB = 3/4 OE = 3/4 D₁ = 3 x 1,4.10⁶ / 4 = 1,05.10⁶ km

2.2.1) D'après la figure 7, on peut utiliser le théorème de Thalès : A'B' / AB = A'Q₁ / AQ₁ ;

A'B' = AB . A'Q₁ / AQ₁ = AB . (R₁ – R₂)/ R₁

v₁ = A'B' / t_AB = AB . (R₁ – R₂)/ (R₁ . t_AB) = 1,05.10⁶ x (1,5.10⁸ – 1,0.10⁸)/ (1,5.10⁸ x 2,0.10⁴)

v₁ = = 0,525.10¹⁴ / 3.10¹² = 52,5 / 3 = 17,5 km.s^-1 » 18 km.s^-1

2.2.2) Q₁Q₂ = v . t_AB = 30 x 2,0.10⁴ = 6,0.10⁵ km

Q₁Q₂ / AB = 6,0.10⁵ / 1,05.10⁶ » 0,6.

On ne peut donc pas considérer la Terre immobile durant cette période.

2.2.3) D'après la position de B'', A'B'' est supérieure à A'B'.