Chap 09 - Dipôle RL

I ) La bobine en convention récepteur

1) Description et symbole :

Une bobine est un dipôle constitué d'un enroulement d'un fil conducteur de faible résistance r, enrobé d'un isolant.

Une bobine est équivalente à l'association en série d'une bobine de résistance nulle et d'un conducteur ohmique de résistance r.

Son symbole est donc celui de l'association d'une résistance r et d'une bobine de résistance nulle :

 

En convention récepteur, u et i sont en sens opposé.

2) Etude expérimentale :

On réalise le montage ci-contre :

Réglages du GBF : f = 320 Hz, U = 2 V ; R = 680 Ω ; bobine avec fer doux

 

On choisit une tension périodique triangulaire pour le générateur.

On visualise les tensions, on peut utiliser un oscilloscope ou un ordinateur munie d'une interface.

La voie 1 permet de visualiser la tension de la bobine et la voie 2 montre la tension u₂, soit –R.i

 

On peut inverser la voie 2 pour montrer u_R . Cette voie montre au coefficient R près la variation de l'intensité i.

 

3) Relations pour une bobine :

L'intensité i est triangulaire de période T. Sur une demi-période de 0 à T/ 2 , la courbe est une droite, 

 i = a.t + b , di/dt = a = constante.
Ceci est valable quelque soit l'intervalle choisi, seul le signe de a change.

La tension u_L est aussi constante sur une demi-période, on peut donc écrire :
u_L = L.di/dt  avec L constante, appelée inductance de la bobine , son unité est le Henry (H)
(si r résistance de la bobine négligeable)

 

Si la résistance de la bobine n'est pas négligeable, c'est une association série d'un conducteur ohmique et d'une bobine de résistance nulle. :  u_L = r.i + L.di/dt

4) Energie stockée par une bobine :

E_L = ½ L.i²      avec E_L en joule (J) , L en henry (H) et i en ampère (A)

II ) Etude d'un dipôle RL soumis à un échelon de tension :

1) Etude expérimentale

On réalise le montage ci-contre :

 

L'ordinateur permet de tracer la courbe i = f(t)

(i = u_R / R)

 

On choisit un générateur de tension continu E.

 

 

 

 

On ferme l'interrupteur K à t = 0 s et on l'ouvre à
t = 70 s.

 

 

Observations :

Lorsqu'on ferme l'interrupteur, l'intensité i croît progressivement de manière exponentielle jusqu'à une valeur maximale.

Lorsqu'on ouvre l'interrupteur, l'intensité i décroît progressivement de manière exponentielle jusqu'à une valeur minimale.

 

 

Interprétations :

Lorsqu'on ferme l'interrupteur, le courant s'installe progressivement, sans la bobine, il aurait instantanément la valeur finale.

La bobine s'oppose à l'apparition du courant.

Lorsqu'on ouvre l'interrupteur, le courant diminue progressivement, sans la bobine, il s'annulerait instantanément, la bobine s'oppose à la disparition du courant.

 

Conclusion: Une bobine s'oppose aux variations de l'intensité du courant dans le circuit.

2) Etude théorique :

a) A l'établissement du courant :

Etude de l'intensité i :

Loi d'additivité : u_R + u_L = E   ⇒  R.i + L.di/dt = E   (1)  (équation différentielle pour i)

 

solution de l'équation :  i = a + b.e ^{– t / τ}   ;   di/dt = - b.e ^{– t / τ} /τ

(1)        R.( a + b.e ^{– t / τ} ) – L.b.e ^{– t / τ} /τ = E     Ceci est valable quelque soit l'instant t, il faut donc :

R.a = E  et R.b – L.b / τ = 0  ⇒ a = E / R et τ = L / R
τ est la constante de temps du dipôle RL .

Pour déterminer b, on utilise la valeur de i à t = 0 s : i = 0 = E / R + b.e ⁰ ⇒ b = - E / R

i = E/R ( 1 – e ^{– t / τ} )  avec τ = L / R (en s)

 

Etude de la tension u_L :

u_L = L.di/dt = L.E/R.e ^{– t / τ} / τ    avec τ = L / R   ⇒  u_L = E.e ^{– t / τ}

On peut aussi utiliser la loi des tensions : u_L + u_R = E  ⇒ u_L = E – R.( E/R (1 –e^{- t / τ} ) = E.e^{- t / τ}

 

         u_L = E. e ^{– t / τ}   avec τ = L / R

 

b) A la rupture du courant :

Etude de l'intensité i :

Loi d'additivité : u_R + u_L = 0   ⇒  R.i + L.di/dt = 0   (1)  (équation différentielle pour i)

 

solution de l'équation :  i = a + b.e ^{– t / τ}   ;   di/dt = - b.e ^{– t / τ} /τ

(2)        R.( a + b.e ^{– t / τ} ) – L.b.e ^{– t / τ} /τ = 0     Ceci est valable quelque soit l'instant t, il faut donc :

R.a = 0  et R.b – L.b / τ = 0  ⇒ a = 0  et τ = L / R
τ est la constante de temps du dipôle RL .

Pour déterminer b, on utilise la valeur de i à t = 0 s : i = E / R = b.e ⁰ ⇒ b = E / R

i = E/R e ^{– t / τ}   avec τ = L / R (en s)

 

Etude de la tension u_L :

u_L = L.di/dt = - L.E/R.e ^{– t / τ} / τ    avec τ = L / R   ⇒  u_L = - E.e ^{– t / τ}

On peut aussi utiliser la loi des tensions : u_L + u_R = 0  ⇒ u_L = – R.E/R e^{- t / τ}  = - E.e^{- t / τ}

 

         u_L = - E. e ^{– t / τ}   avec τ = L / R

 

3) Détermination graphique de la constante de temps τ :

1^ère méthode :

Lors de l'apparition du courant (fermeture du circuit), pour trouver τ, on trace la tangente à l'origine, elle coupe l'asymptote (i = E/R) à l'instant τ.

Lors de la disparition du courant, on trace la tangente à la courbe à l'instant t₀ d'ouverture du circuit, elle coupe l'axe des abscisses à l'instant t₀+ τ ( on considère t₀ comme nouvelle origine)

 

2^ème méthode : Lors de l'apparition du courant, à l'instant τ, l'intensité vaut 63% de sa valeur maximale E/R. Lors de la disparition du courant, à l'instant t₀+τ, l'intensité vaut 37% E/R.

4)  Dimension de la constante de temps τ du dipôle RL :

[L / R] = [L] / [R] or     R  = U / I  ⇒   [R] = U.I^-1 

u_L = L.di/dt   ⇒  [L] = U.T.I^-1   ⇒ [L / R] = (U.T.I^-1).(U.I^-1)^-1 ⇒ [L / R] = T

τ = L / R a la dimension d'une durée, est appelé constante de temps du dipôle RL et s'exprime en seconde

(si R est en ohm (Ω) et L en henry (H)).

5) Variation de l'intensité traversant une bobine :

L'intensité traversant une bobine ne subit pas de brusque variation, c'est une fonction continue.

 

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