Chap 10 – Oscillations libres dans un circuit RLC série

I ) Décharge du condensateur d'un circuit RLC série

1) Etude expérimentale :

On réalise le montage ci-contre :

On visualise la tension u_C , on utilise un ordinateur munie d'une interface.

On place l'interrupteur sur la position 1, le condensateur se charge,puis on bascule l'interrupteur sur la position 2.

Observations :

La tension u_C prend alternativement des valeurs négatives et des valeurs positives. Elle oscille.

Interprétations :

On a un circuit RLC série.
Le condensateur se décharge dans un dipôle RL où R = r + R'

La tension u_C subit des oscillations libres amorties dont la valeur maximale décroît et intervient à intervalles de temps égaux.

On dit que le régime des oscillations est pseudo-périodique.

La pseudo-période T est la durée entre 2 valeurs maximales successives ou entre deux passages par zéro dans le même sens.

Elle est constante.

2) Influence de la résistance :

Si on augmente la valeur R, l'amortissement est plus grand.

Pour des grandes valeurs R,
le régime devient apériodique,
il n'y a pas d'oscillations.

Si R est négligeable,
l'amortissement est aussi négligeable et le régime est périodique.

3) Influence de l'inductance L de la bobine :

On retire le noyau de fer à moitié, puis complètement (on diminue ainsi la valeur de l'inductance L ) et on étudie dans les 2 cas u_C .

On constate que la période T diminue.

4) Etude énergétique :

Avec le montage précédent, on mesure la tension u_R sur la voie B et la tension u_C sur la voie A.
u_R = - R.i, on obtient donc les variations de i.

Energie emmagasinée par la bobine : E_L = ½ L.i²

Energie emmagasinée par le condensateur : E_C = ½ C.u_C²
Energie totale : E = E_L + E_C = ½ L.i² + ½ C.u_C² .

On peut ainsi grâce à l'ordinateur tracer les courbes E_L , E_C et E en fonction du temps.

L'énergie totale décroît en fonction du temps, elle se dissipe par effet joule dans le conducteur ohmique.
En régime pseudo-périodique, la décharge est oscillante, il y a transfert d'énergie du condensateur vers la bobine et réciproquement de façon alternative.

En régime apériodique, il y a seulement transfert du condensateur vers la bobine lors de la décharge.

En régime périodique, l'amortissement est négligeable, la dissipation d'énergie dans le conducteur ohmique est négligeable.

L'énergie totale reste constante, elle se conserve. Il y a transfert continuel entre la bobine et le condensateur.

II ) Etude théorique des oscillations d'un circuit série LC d'amortissement négligeable :

1) Tension aux bornes du condensateur :

On respecte la convention récepteur u et i de sens contraire.

u_L = L.di/dt ; q = C.u_C ; i = dq/dt = C.du_C/dt

Loi des tensions : u_L + u_C = 0 ⇒ L.C.d²u_C/dt² + u_C = 0

ou d²u_C/dt² + u_C /(L.C)= 0
(on peut aussi écrire une équation différentielle pour q)

solution de l'équation différentielle : u_C = U_m.cos (ω₀.t+ φ)

U_m, ω et φ étant des constantes à déterminer.

du_C/dt = - ω₀.U_m.sin(ω₀.t+φ) ; d²u_C/dt² = - ω₀².U_m.cos(ω₀.t+φ)

d²u_C/dt² + u_C/(L.C) = (- ω₀².+ 1/(L.C)).U_m.cos(ω₀.t+φ) = 0 . Relation valable pour tout t.

Il faut donc : - ω₀².+ 1/(L.C) = 0 ⇒ ω₀ = 1/√¯(L .C)
ω₀ est appelée pulsation propre des oscillations électriques , elle s'exprime en rad.s^-1

On utilise les conditions initiales pour déterminer U_m et φ :

à t = 0 s , u_C = U_m.cos(φ) φ est appelé phase à l'origine . Souvent u_C = U_m , φ = 0
La fonction cosinus varie entre –1 et 1, U_m est donc la valeur maximale, appelée amplitude de u_C. U_m = E

On appelle T₀, la période propre des oscillations électriques : T₀ = 2 π / ω₀ = 2 π.√¯(L .C)
T₀ s'exprime en s. Dans un régime pseudo-périodique, la pseudo-période est proche de T₀

La fréquence propre f₀ ( ou N₀ ) : f₀ = 1 / T₀

Analyse dimensionnelle :

[L.C] = [L / R].[RC] ; or [τ] =[RC] = T et [τ] = [L / R] = T ⇒ [L.C] = T²

⇒ [√¯(L .C)] = T ; √¯(L .C) a bien la dimension d'un temps

2) Intensité du courant :

i = dq/dt ; q = C.u_C = C. U_m.cos (ω₀.t+ φ)
⇒ i = - C.U_m.ω₀.sin(ω₀.t+φ) = - I_m.sin(ω₀.t+φ) avec I_m = ω₀.C.U_m

III ) Entretien des oscillations d'un circuit RLC série :

Le dispositif d'entretien des oscillations est hors programme.

Il fournit de l'énergie au circuit.

La puissance perdue par effet joule dans le circuit RLC est :
P = R.i² avec R = r+R' .
La puissance fournit par le dispositif est : P_S= u_S.i

Pour qu'il y ait compensation de la perte d'énergie, il faut :
P = P_S ⇒ u_S = R.i

Il y a toujours transfert d'énergie entre le condensateur et la bobine et l'énergie totale est constante.

Les oscillations entretenues sont sinusoïdales de période T égale à la période propre T₀.

T = T₀ = 2 π.√¯(L .C) = 2 π / ω₀ i = i_m.cos( ω₀.t + φ )