Chap 12 - Chute verticale d'un solide

I ) Force exercée par la Terre sur un solide : Le poids

1) Poids :

Le poids d'un objet est la force d'………….  …………………. exercée par ………….

Cette force est caractérisée par une origine : le centre de ……… .. (ou centre d'………..) du corps, une direction : la ………… passant par … , un sens : vers le ….. et

une valeur : P = ………  avec P en ………… (…), m en …. et g en ……..

2) Champ de pesanteur terrestre :

En un point donné M, au voisinage de la Terre, le poids d'un objet de masse m peut s'écrire :

P  = …….    où g est le vecteur champ de pesanteur terrestre au point M considéré.

Ce vecteur champ de pesanteur terrestre se caractérise par une origine M , une direction : la ………. passant par M, un sens : vers le … et une valeur : l'intensité .. de la pesanteur au point M

Remarque :La valeur de l'intensité g de la pesanteur dépend de la ……… du point M où l'on opère g = 9,78 N.kg^-1  à l'équateur,

g = 9,83 N.kg^-1  au pôle Nord, au niveau de la mer et de son …………. (diminution d'environ 1 % tous les 30 km).

Cependant, au voisinage de la Terre (quelques kilomètres), le champ de pesanteur est uniforme :

(même direction, même sens et même valeur en tout point).

II ) Forces exercées par un fluide sur un solide en mouvement :

1) Poussée d'Archimède :

La poussée d'Archimède _A (ou ) est une force de ……… exercée sur la surface ………… du solide. 

Le vecteur _A est ………. vers le …… partant du centre d'inertie C du ……… de fluide déplacé .

P_A = ……………    (égal au ……. du fluide déplacé).

P_A s'exprime en ………...(…), la masse volumique du fluide r_fluide en ….. et le volume de fluide déplacé V en … et g en …..

Remarque : L'air exerce aussi la poussée d'Archimède sur les objets mais l'intensité de cette force est souvent …………… par rapport aux autres.

2) Force de frottement fluide :

Si un solide est en mouvement dans un fluide, il subit une force   de "frottement fluide".

Cette force est ………… au vecteur vitesse du solide et de sens ………….

Souvent, elle s'……….. au mouvement, elle est ………….

Sa valeur f dépend de la ………….. du solide, de la ……… du fluide, de sa …….., et de son ….. de surface. On peut la modéliser par une expression de la forme :   f = ……  où n est un entier

Exemples : f = ….. pour les vitesses faibles (quelques cm.s^-1) ou f = …… pour des vitesses plus importantes ( quelques m.s^-1).

Pour affiner le modèle, on peut aussi utiliser une expression plus complexe : f = …. + …. + ...

III ) Etude d'une chute verticale :

1) Chute libre :

Par définition, un solide est en chute libre s'il …………………… .

On peut étudier la chute dans le vide, elle chute est …………………...

Dans l'air, un objet en chute, est soumis à la …………………….. et à la force de …………..  ……., exercées par l'air , mais ces forces sont …….. et ……………… par rapport au poids dans certaines conditions : faible ………. (quelques mètres) et faible …………..

2) Chute verticale réelle, sans vitesse initiale : 

Une bille métallique de masse m est lâchée à 6,0 m du sol, sans vitesse initiale, d'un point pris comme origine d'un axe vertical

(O, ) orienté vers le bas. ( g = 9,80 N.kg^-1 ).

L'origine des temps est choisie au point O de départ de la bille.

a)     S'agit-il d'une chute libre ? Justifier.

b)    Faire un schéma en représentant axe, origine, force(s).

c)     Etablir l'équation différentielle du mouvement vérifiée par la vitesse v.

d)    Déterminer les équations horaires du mouvement ( a, v et y en fonction du temps)

e)     Déterminer l’instant t₁ et la vitesse v₁ où la bille frappe le sol 

Réponses :

3) Chute verticale avec force de frottement :

Etude de la chute d'une bille sans vitesse initiale, dans une éprouvette remplie d'huile .

Données : ρ et ρ_h masses volumiques de la bille et de l'huile . V : volume de la bille.

On modélise la force de frottement fluide sous la forme : = - k.  

(Rem : k = 6 π.η.r  avec η est le coefficient de viscosité du liquide et r est le rayon de la bille)

a) S'agit-il d'une chute libre ? Justifier.

b) Faire un schéma en représentant axe, origine. Faire un bilan des forces et les représenter.

Exprimer les intensités des forces en fonction des données.

c) Etablir l'équation différentielle du mouvement vérifiée par la vitesse v.

Mettre l'équation sous la forme :   dv/dt + v/τ  = k₁ .       Exprimer k₁ et τ en fonction des données.

d) Déterminer par analyse dimensionnelle les unités de k₁ et τ. Calculer les valeurs de  k₁ et τ.

e) La bille atteint-elle une vitesse limite ?  Si oui, exprimer la vitesse limite de la bille v_m puis la calculer.

Données :  k = 9,33.10^-2 S.I.  ;  ρ = 2400 kg.m^-3 ; ρ_h = 950 kg.m^-3  ;  g = 9,80 N.kg^-1

rayon de la bille : r = 1,50 mm

 

Réponses :

IV ) Résolution d'une équation différentielle par la méthode d'Euler

On cherche à résoudre une équation différentielle du type de celle obtenue précédemment :

dv/dt + v / τ = k₁  (les données sont les mêmes que précédemment)

Méthode d'Euler :

La méthode d'Euler consiste à assimiler a = dv/dt à …….. , où Δv = ………  et Δt = ………. .

Ce qui revient à considérer que sur Δt très petit, l'accélération a est ……… , on a alors la courbe de la vitesse qui est une …….. et a est égale au coefficient ………. de cette droite :

a = ……………..     ;   v_i+1 – v_i = ………..   ;   v_i+1 = …………..  

Si on choisit un pas suffisamment petit, cette hypothèse est tout à fait valable.

On utilise les conditions initiales (a₀ et v₀), puis successivement la relation  v_i+1 – v_i = a_i . Δt   et l'équation différentielle pour déterminer v_i+1 et a_i+1 .

a) Appliquer la méthode d'Euler pour un pas Δt = 1,5.10^-4 s  de 0 à 21.10^-4 s.

b) Tracer le graphique de la vitesse en fonction du temps et l'analyser .

c) Montrer que la solution de l'équation différentielle est de la forme : v = a.exp( -t / τ) + b.

Exprimer littéralement les constante a et b. Calculer leurs valeurs.

Réponses :

a) Avec un pas Δt = 1,50.10 ^{- 4} s, on résout de façon approchée de l'équation différentielle :

dv/dt + v / τ = k₁  ;  a + v / .............  = …..    ⇒ a = ……………

Entre les instants t et t +Δt, la vitesse varie deΔv et l'accélération est voisine de Δv/Δt
Avec Δt = 1,50.10 ^{- 4} s et a_i = ……………..  et Δv = v_i+1 – v_i = ……….. a_i ; v_i+1 = v_i +………. a_i

A l'instant t₀ = 0 s, la vitesse initiale est nulle v₀ = 0 m.s^-1 , l'accélération initiale, a₀ = …… m.s^-2

v₁ = .......................................................................................

a₁ = .......................................................................................

v₂ = .......................................................................................

a₂ = .......................................................................................

On continue ainsi les calculs jusqu'à atteindre la vitesse limite v_m .

 

b) On trace le graphique de v en fonction de t.

Le mouvement de la bille comporte deux phases , un régime ………., au cours duquel la vitesse varie  et un régime ……….. pendant lequel la vitesse est constante et est égale à la valeur …….. La vitesse tend vers une valeur ………. v_m = …………. m.s^-1 ce qui correspond à la valeur ………….

 

c) v = a.exp( - t / τ ) + b      ⇒     dv/dt =  …………………

On remplace dans l'équation différentielle : ………………………………………………………..

  soit  b/τ = ….  ⇒  b = ……… = ….

Pour déterminer la valeur de a , on utilise les conditions initiales :  à t = 0 s , v₀ = .. m.s^-1 

solution  :  v =

v =

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