Chap 16 et 17 - Le dispositif solide-ressort
Un ressort exerce une force
proportionnelle à son allongement x = L - L0 :
F = k . | L – L0 | = k . | x | où k est le coefficient de raideur du ressort exprimé en N.m-1 .
Si le ressort est comprimé,
est vers le solide, s'il est détendu,
est vers le ressort.
Expression vectorielle : On choisit un vecteur normé
dans le repère Ox.
Si x < 0 ,
et
sont dans le même sens , si
x > 0 ,
et
sont de sens contraire :
= - k . x .
Un oscillateur élastique est constitué d'un ressort fixé, reliée à un solide. C'est un oscillateur mécanique.
En l'absence de frottement, les oscillations sont libres et non amorties.
On écarte le solide de masse m de sa position d'équilibre et on le lâche.
Le ressort a une masse supposée négligeable et un coefficient de raideur k.
On néglige tous les frottements.
O est la position du centre d'inertie du solide à l'équilibre et M sa position à un instant t.
Bilan des forces exercées sur le système :
: poids du solide. P = m . g , vertical vers le bas
: force du plan
sur le solide, perpendiculaire au plan vers le haut.
: force du ressort
sur le solide, dans l'axe du ressort :
= - k . x .
On applique la 2ème loi de Newton dans le référentiel terrestre galiléen au système de masse m.
On associe au référentiel un repère orthonormé : O,
,
.
2ème loi de Newton :
+
+
= m .
Projection sur l'axe (O,
) : 0 + 0 – k . x = m . x'' ( x" ou d2x/dt2)
⇒ m . x'' + k . x = 0 ⇒ x'' + (k / m) . x = 0 (équation différentielle)
Cette équation n'est pas à résoudre, on propose l'expression suivante :
x = xm cos(2π t /T0 + φ0 )
où T0 est la période propre de l'oscillateur élastique et φ0 est la phase à l'origine.
Cette expression est-elle solution de l'équation différentielle du mouvement ?
* vitesse : v(t) = dx/dt = x' = -xm (2π/T0) sin(2π t /T0 + φ0 ) ;
* accélération : a(t) = dv/dt = d2x/dt2 = x'' = -xm (4π²/T02) cos(2π t/T0 + φ0 ) = - (4π²/T02) . x
On remplace ces expressions dans l'équation différentielle :
0 = x'' + (k / m) . x = - (4π²/T02) x + (k / m) x
x n'est pas toujours nulle, on a donc : -4π² / T02 + k / m = 0
T0
= 2 π (m
/ k)
x = xm cos( 2π t / T0 + φ0 ) est bien solution de l'équation différentielle x'' + (k / m) x = 0
avec la période propre T0 = 2 π
(m / k)
Les oscillations libres d'un oscillateur élastique non amorti sont donc sinusoïdales.
* Vérification par analyse dimensionnelle de la dimension
de 2 π
(m / k) :
[ k ] = [ F / x ] = [ m.a / x ] = M.L.T-2 / L = M.T-2
[2 π (m / k)] = [ m / k ]1 / 2 = ( M / (M.T-2))1
/ 2 = ( T2 )1 / 2 = T ( homogène à un temps)
Pour définir précisément x(t), il faut définir xm et φ0 en tenant compte des conditions initiales :
A t = 0 s , x = xm cos φ0 = x0 . Souvent , vx0 = 0 = - 2 π /T0 .sin φ0 , on a donc φ0 = 0 ou π .
⇒ si φ0 = 0, xm = x0 ; si φ0 = π , xm = - x0 (impossible x0>0). Solution : x = x0 cos ( 2 π t / T0 )
Remarque : Si on tient compte des forces de frottements
pour les faibles vitesses : =
- k'.
Elle s'oppose au déplacement. L'équation différentielle devient : x'' + (k'/m).x' + (k/m).x = 0
S'il n' y a pas de frottement, les oscillations sont sinusoïdales.
Si les frottements sont faibles, l’amplitude des oscillations décroît .
Le régime est pseudo-périodique. La pseudo-période T est voisine de la période propre T0 .
Si les frottements sont importants, il n'y a plus d'oscillations, l'oscillateur retourne à sa position d'équilibre sans la dépasser.
Le régime est apériodique.
aucun frottement |
frottements faibles |
frottements importants |
|
|
|
régime périodique |
régime pseudo périodique |
régime apériodique |
Le chapitre 15 définit les oscillations forcées. On observe ici de fortes similitudes avec le pendule.
Le haut-parleur est un exemple d'oscillations forcées. La membrane est mise en vibration par une force magnétique qui a la fréquence f du courant délivré par le générateur (GBF) qui est ici l'excitateur.
Lire p 302 : Un pont détruit par oscillations forcées.
Le résonateur étudié est l'oscillateur ressort-solide.
Le dispositif en dessous permet d'enregistrer la position de l'oscillateur grâce à une interface informatique.
Grâce à un moteur, on lui applique une force extérieure, de fréquence f égale à la fréquence de rotation du moteur.
Le résonateur oscille à la fréquence f réglable imposée par l'excitateur (moteur)..
On étudie les oscillations du résonateur en modifiant la fréquence f de l'excitateur .
On mesure l'amplitude xm des oscillations du résonateur dans trois situations d'amortissement : faible, moyen et fort.
Si
l'amortissement est faible, l'amplitude du résonateur est maximale pour une
certaine fréquence fR de l'excitateur proche de la fréquence propre
f0 du résonateur.
Il y a résonance aiguë d'amplitude.
Si l'amortissement est moyen, la fréquence de résonance diminue et la résonance devient plus difficile à repérer, elle est floue.
Si l'amortissement est grand, il n'y a plus de résonance
Ce phénomène de résonance s'observe pour d'autres types d'oscillations, notamment les oscillations électriques ou optiques.
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