Chap 18 - Aspects énergétiques

I ) Travail :

Des objets soumis à une force peuvent  être mis en mouvement, changer d'altitude, de direction, se déformer temporairement ou définitivement, voir leur température s'élever.

1) Travail d'une force :

a) Travail d'une force constante sur un déplacement rectiligne:

 Une force constante conserve les même sens, direction et intensité au cours du temps.

 Définition : Dans un référentiel donné, le travail d'une force constante appliquée à un solide qui se déplace de A à B en ligne droite est donné par :  WAB ( ) = . = F.AB. cos (, )

F : norme de   et AB norme de ,  ( , ) = α (en radian ou en degré)

WAB ( ) =. = F . AB . cos α

Unités :  Intensité  F en newton ( N ) , Distance AB en mètre (m) , travail WAB en joule (J)

 Travail moteur, résistant ou nul :

Le signe du travail WAB ( ) = .= F . AB . cos α est celui de cos α

F et AB sont positifs alors que la valeur de cos α est comprise entre - 1 et + 1.

- Si l' angle α = ( , ) < 90° alors cos α > 0 et WAB ( ) > 0.

Le travail est moteur.
- Si l' angle α = ( , ) > 90° alors cos α < 0 et W AB ( ) < 0.

Le travail est résistant.

- Si l' angle α = ( , ) = 90° alors cos α  = 0 et W AB ( ) = 0 J.

Le travail est nul.

 

Une force perpendiculaire à la trajectoire ne fournit aucun travail.

 

b) Travail d'une force variable et d'un déplacement quelconque.

Lors du déplacement quelconque de A vers B du point d'application d'une force variable, cette dernière peut être considérée comme restant pratiquement constante lors d'un déplacement élémentaire  (entre deux points très voisins). Pour cet élément de trajet, le travail élémentaire effectué par la force est :  δW = .d

Le travail effectué par la force entre les points A et B  :  WAB ( ) = δW = .d

Remarque :  Cas où reste constant. WAB ( ) = .d = .d = .

Le travail d'une force constante, entre deux points A et B, est indépendant du chemin parcouru.

2 ) Travail du poids :

Considérons un déplacement quelconque du solide de A à B :

Dans un repère ( O,,, ) ,   ( xB - xA, yB - yA, zB - zA )  ,  ( 0, 0,-P)

Le travail d'une force constante, entre deux points A et B, est indépendant du chemin parcouru.

est une force constante. WAB ( ) = .   .

WAB ( ) = . = 0.( xB - xA ) + 0.( yB - yA ) - P.(zB - zA) = - m . g . ( zB - zA ) = m . g . (zA - zB)

 

Le travail du poids d'un solide ne dépend que des altitudes des points de départ et d'arrivée .

Il ne dépend pas du chemin suivi pour aller de A vers B.

On peut aussi utiliser la dénivellation h entre A et B.   h = |zA - zB|  ( h est positive )

WAB (P) = m.g.( zA - zB ) = ∓ m.g.h

Si le solide monte, le travail du poids est négatif, résistant. Si le solide descend, il est moteur.

3 ) Travail d'une force extérieure appliquée à un ressort :

On exerce une force e extérieure sur le ressort  de longueur à vide L0 . e = - r   (r (ressort))

Fe est proportionnelle à l'allongement x du ressort : e = k = k . x    ( k : raideur du ressort)

On considère un trajet très petit, d = dx .  Le travail s'écrit :   δWe = e .d = k . x . dx

Le travail W(e) pour passer de l'allongement x1 à x2 :  

Calcul par intégration :   W(e) =  = [ ½ k . x2] = ½ k . (x22 - x12)

Unités : W en joule (J) ,  k en N.m-1  , x en mètre (m)

 

Calcul par méthode graphique :

Fe = k . x . La courbe de Fe en fonction de x est une droite.

Le travail élémentaire δWe = k . x . dx de la force e pour allonger le ressort de x à x+dx représente l'aire verte du rectangle de côtés Fe(x) et dx. Celle-ci est extrêmement proche de l'aire sous la droite Fe(x) entre x et x+dx car dx est extrêmement petit.

Le travail W( e) entre l'allongement x1 et x2 , est égal à la somme des travaux élémentaires δWe . Il est donc très proche de l'aire S du trapèze jaune, qui est égale à la différences entre les aires S2 ,S1 des triangles OA2x2 et OA1x1 .

W(e) = S = S2- S1 = ( ½ x2 . kx2 ) - ( ½ x1 . kx1 ) = ½ k . ( x22 - x12)

 

Remarque : r = - e   ;   W(r) = - W(e) = ½ k . ( x12 - x22)

II ) Energie potentielle :

1)     Energie potentielle de pesanteur : ( Rappel 1e S)

On appelle énergie potentielle de pesanteur Epp d'un solide S de masse m situé à l'altitude zB la quantité.      EppB = m . g . zB   

EppB en joules (J) , m : masse en kg , zB : altitude du solide en mètres

2)     Energie potentielle élastique : (cas d'un ressort )

On appelle énergie potentielle élastique Ep él d'un solide S de masse m d'allongement x :

                   Ep él = ½ k . x2 

Unités : Ep él en joules (J) , m  masse en kg , x : allongement algébrique du ressort en mètres (m)

III ) Energie cinétique :

1) Définition : (Rappel 1e S)

L'énergie cinétique d'un solide indéformable de masse m , est l'énergie qu'il possède du fait de son mouvement .

Pour un solide en translation à la vitesse vG   :  Ec = ½ m . vG2
Unités : Ec  en joules (J) , m  masse en kg , vG vitesse en m.s-1.

2) Théorème de l'énergie cinétique

La variation d'énergie cinétique d'un solide en translation dans un référentiel galiléen, entre deux positions A et B, est égale à la somme des travaux des forces extérieures appliquées au solide entre le positions A et B.

                                               ΔEc = Ec(B) - Ec(A) = Σ WAB(ext)

IV ) Energie mécanique :

1)     Définition :

L'énergie mécanique d'un solide est la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentille

Em = Ec + Ep

2) Cas de la chute libre : (rappel)

On a étudié ce cas en 1e S.

Ec(B) - Ec(A) = WAB( ) = m . g . (zA-zB) = Epp(A) - Epp(B)

Em(A) = Em(B). L'énergie mécanique se conserve.

Il y a donc un transfert d'énergie : une partie de l'énergie potentielle de pesanteur est convertie en énergie cinétique.

3) Energie mécanique du système solide-ressort :

x est la position du centre d'inertie du solide et l'allongement du ressort. La vitesse du solide v = x'

On a vu dans le chap  17 :  m . x'' + k . x = 0  .  on multiplie par x' ⇒  m . x''. x' + k . x . x' = 0.

On va prendre l'expression de la primitive des 2 membres de l'équation :

Ec = ½ m . v2 = ½ m . x'2   ;  dEc/dt = ½ m.(2 x' . x'') = m . x '. x''

Puisque la dérivée de Ec est m . x' . x'', la primitive de m . x' . x'' est Ec + cste

Ep él = ½ k . x2   ;  dEp él/dt = k . x . x'

Puisque la dérivée de Ep él est k . x . x', la primitive de k . x . x' est Ep él + cste

La primitive de 0 est une constante.

m . x''. x' + k . x . x' = 0   ⇒  (Ec + cste) + (Ep él + cste) = cste

On a donc :                    Ec + Ep él  = cste  pour le système solide-ressort

En fait, l'énergie cinétique du solide se transforme en énergie potentielle du ressort et inversement.

         Em = ½ k . xm2 = ½ m . vm2 = ½ k . x2 + ½ m . v2

4)     Energie mécanique d'un projectile :

Un projectile S est lancé avec un vecteur vitesse 0 dans un champ de pesanteur terrestre.

(voir chap 13) : m . = = m . ⇒ m . x'' = 0 (1) et  m . z'' = - m . g (2).  On cherche les primitives.

* on multiplie (1) par x' :  m . x' . x'' = 0.  Ecx = ½ m . x'2  ;  dEc/dt = m . x' . x''

La primitive de m . x' . x'' est donc Ecx + cste. Celle de 0 est une constante  ⇒ Ecx + cste = cste

soit   Ecx= ½m . vx2 = cste

* m . z'' + m . g = 0 (2), on multiplie par z'  ⇒ m . z'' . z' + m . g . z' = 0

Ecz= ½ m . vz2 = ½ m . z'2   ;  dEcz/dt = ½ m . 2z' . z'' = m .z' . z''

La primitive de m . z' . z'' est Ecz + cste  , celle de m . g . z' est m . g . z + cste et celle de 0 est une cste.   

½ m . vz2 + cste + m . g . z + cste = cste    ⇒    ½m . vz2 + m . g . z = cste

* Ajoutons les 2 résultats : ½m . vx2 + ½m . vz2 + m . g . z = cste.   ;   ½ m ( vx2 + vz2) + m . g . z = cste.

Or v2 = ( vx2 + vz2) . On a donc :  ½ m . v2 + m . g . z = cste ,  soit   Ec + Epp = Em = cste.

L'énergie mécanique du projectile se conserve.

 

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