exo 13 – Mouvement de projectiles

ex 6 p 245

a) On étudie la bille dans le référentiel terrestre galiléen auquel on associe un repère (O, , )

On néglige les forces de frottement et la poussée d'Archimède de l'air.

Le poids de la bille est la seule force exercée sur la bille.

On applique la 2^ème loi de Newton  :  Σ _ext = m.     ⇒   = m.   ⇒ =
Le poids et la vitesse ₀ sont dans le plan (O, , ) ., la bille va donc rester dans ce plan au cours du mouvement.

La 3^ème  coordonnée x reste nulle.

On ne considère donc que les coordonnées y et z.

Le vecteur ,vertical vers le bas, a pour coordonnées ( 0 , g ) .₀ a pour coordonnées ( v₀ , 0 )

=   ⇒  a_y = 0  et a_z = g ⇒   dv_y/dt = 0  et dv_z/dt = g

v_y = v_y0 = v₀   et   v_z = g.t + v_z0 = g.t      ⇒    v_y = dy/dt = v₀      et v_z = dz/dt = g.t 

⇒  y = v₀.t + y₀ = v₀.t + 0 = v₀.t      et      z = g.t² / 2 + z₀ = g.t² / 2

z_P = g.t_P² / 2 = h  ⇒  t_P = (2 h / g ) = ( 2 x 5,6 / 9,8 ) = 1,07 s

b) y_P = v₀.t_P = d  ⇒  v₀ = d / t_P = 4,0 / 1,07 = 3,74 m.s^-1 

 

ex 7 p 245

a) On étudie le ballon dans le référentiel terrestre galiléen avec le repère (O,,,) 

On néglige les forces de frottement et la poussée d'Archimède de l'air.

Le poids du ballon est la seule force exercée sur le ballon.

On applique la 2^ème loi de Newton  :  Σ _ext = m .   

⇒   = m.   ⇒ =

 

Le poids et la vitesse ₀ sont dans le plan (O,,) , le ballon va donc rester dans ce plan au cours du mouvement.

La trajectoire est plane. La 3^ème  coordonnée z reste nulle.

On ne considère donc que les coordonnées x et y .

Le vecteur ,vertical vers le bas, a pour coordonnées ( 0 , - g ) .

=   ⇒  a_x = 0  et a_y = - g ⇒   dv_x/dt = 0  et dv_y/dt = - g

v_x = v_x0 = v₀.cos α   et   v_y = -g.t + v_y0 = - g.t + v₀.sin α

v_x = dx/dt = v₀.cos α      et v_y = dy/dt = - g.t + v₀.sin α 

⇒  x = v₀.cos α.t + x₀ = v₀.cos α.t + 0 = v₀.cos α.t

⇒ y = - g.t²/2 + v₀.sin α.t + y₀ = - g.t²/2 + v₀.sin α.t

 

Equation de la trajectoire :

t = x / ( v₀.cos α)   . on remplace t dans l'équation horaire de z(t) :

y = - g.x² / (2.v₀².cos² α) + tan α.x 

b) x_but = 11 m ,   y_but = - 9,8 x 11² / ( 2 x 25² x cos² 17°) + tan 17 x 11 = 2,326 m

y_but correspond au centre du ballon, si on y ajoute le rayon de 0,11 m, on en déduit que le ballon touche la barre transversale.

 

ex 8 p 245

a) On étudie la balle dans le référentiel terrestre galiléen auquel on associe un repère (O, , , ) . 

On néglige les forces de frottement et la poussée d'Archimède de l'air.

Le poids de la balle est la seule force exercée sur la balle.

On applique la 2^ème loi de Newton  :  Σ _ext = m .      ⇒   = m.   ⇒ =

Le poids et la vitesse ₀ sont dans le plan (O,,) , la balle va donc rester dans ce plan au cours du mouvement.

La trajectoire est plane. La 3^ème  coordonnée z reste nulle.

On ne considère donc que les coordonnées x et y .

Le vecteur ,vertical vers le bas, a pour coordonnées ( 0 , - g ) .

=   ⇒  a_x = 0  et a_y = - g ⇒   dv_x/dt = 0  et dv_y/dt = - g

v_x = v_x0 = v₀.cos α   et   v_y = -g.t + v_y0 = - g.t + v₀.sin α

v_x = dx/dt = v₀.cos α      et v_y = dy/dt = - g.t + v₀.sin α 

⇒  x = v₀.cos α.t + x₀ = v₀.cos α.t + 0 = v₀.cos α.t

y = - g.t²/2 + v₀.sin α.t + y₀ = - g.t²/2 + v₀.sin α.t

Au sol, y_S = 0 = = - g.t_S²/2 + v₀.sin α.t_S ⇒ t_S = 2 v₀.sin α / g

x_S = d = v₀.cos α.t_S = 2 v₀².sin α.cos α /g = v₀².sin 2α / g = d 

⇒ v₀ = (d.g / sin 2α) = (26 x 9,8 / sin 60°) = 17 m.s^-1 

b) d = v₀².sin 2α / g .  Pour que d soit maximum, il faut que sin 2α = 1, soit 2α = 90, α = 45°

 

ex 9 p 246

a) Il faut que la camera filme perpendiculairement au plan de la trajectoire et que l'on ait dans le vision, un objet de dimensions connues pour avoir l'échelle.

b) On utilise un magnétoscope relié à une télévision, puis on fait défiler image par image et on pointe sur une feuille transparente plaquée sur l'écran, la position du centre de la bille.

c) L'intervalle τ entre 2 points vaut 1 / 25 s  . 

τ = 0,04 s

v₂ = G₁G₃ / 2 τ = 0,37 / 0,08 = 4,6 m.s^-1  

( direction : droite G₁G₃ )

v₄ = G₃G₅ / 2 τ = 0,33 / 0,08 = 4,1 m.s^-1  

( direction : droite G₃G₅ )

d) ₃ = ( ₄ - ₂ ) / 2 τ   .

 

Sur le schéma, on mesure la longueur de Δ  :

Δv = 0,   a₃ = 0,74 / 0,08 = 9,25 m.s^-1 

e) écart = ( g – a₃ ) / g = (9,8 – 9,25) / 9,8 = 0,056 = 5,6 %

On peut considérer que la valeur de l'accélération est égale à la valeur de la pesanteur à 5,6 %

 

ex 10 p 246

a) On étudie le caillou dans le référentiel terrestre galiléen auquel on associe un repère (O, ) .

est choisi vertical vers le bas.

On néglige les forces de frottement et la poussée d'Archimède de l'air.

Le poids de la balle est la seule force exercée sur le caillou.

On applique la 2^ème loi de Newton  :  Σ _ext = m.      ⇒   = m.   ⇒ =

On ne considère donc que la coordonnée y .La trajectoire est rectiligne et verticale.

Le vecteur ,vertical vers le bas, a pour coordonnées ( 0 , g ) .

=   ⇒  a = a_z =  g ⇒   dv_z/dt = g    ⇒  v = v_z = g . t + v_z0 = g . t + v₀

v_z = dz/dt = g . t + v₀ ⇒  z = g . t² / 2 + v₀ . t + z₀ = g . t² / 2 + v₀ . t

Il faut qu'Eric lâche le caillou sans vitesse initiale, que v₀ soit nulle pour que z = g . t² / 2.

b) L'accélération d'un objet en chute libre ne dépend que de la valeur g de la pesanteur , elle est indépendante de la masse.

c)  Soient t₁ le temps de chute du caillou et t₂ le temps de remontée du son :

t₁ = (2 z / g)  et  t₂ = z / v_son   ⇒ t = (2 z / g) + z / v_son

* z = 160 m  ,  t = (2 x 160 / 9,8)  + 160 / 340 = 6,18 s

* z = 180 m  ,  t = (2 x 180 / 9,8)  + 180 / 340 = 6,59 s

d) L'argument d'Aurélie sur le son est valable, le temps de remontée du son n'est pas négligeable.

e) Le point important pour la pierre ponce n'est pas qu'elle soit lourde ou non, mais qu'elle ait une surface différente et une densité différente, les forces exercées par l'air ne sont plus aussi négligeables devant le poids que pour le caillou.

 

ex 11 p 247

a) On étudie le ballon dans le référentiel terrestre galiléen .

Le poids du ballon, vertical vers le bas est la seule force exercée sur le ballon.  P = m . g

On néglige les forces de frottement et la poussée d'Archimède de l'air.

On applique la 2^ème loi de Newton  :  Σ _ext = m .     ⇒   = m.   ⇒ =

Le poids et la vitesse ₀ sont dans le plan (O,,) , le ballon va donc rester dans ce plan au cours du mouvement.

La 3^ème  coordonnée x reste nulle.

On ne considère donc que les coordonnées y et z.

Le vecteur est vertical vers le bas, il a pour coordonnées ( 0 , - g ) 

=   ⇒  a_y = 0  et a_z = - g ⇒   dv_y/dt = 0  et dv_z/dt = - g

v_y = v_y0 = v₀.cos α   et   v_z = -g.t + v_z0 = - g.t + v₀.sin α

v_y = dy/dt = v₀.cos α      et v_z = dz/dt = - g.t + v₀.sin α 

⇒  y = v₀.cos α.t + y₀ = v₀.cos α.t + 0 = v₀.cos α.t

⇒ z = - g.t²/2 + v₀.sin α.t + z₀ = - g.t²/2 + v₀.sin α.t + h_A

Equation de la trajectoire :

t = y / ( v₀.cos α)   . on remplace t dans l'équation horaire de z(t) :

z = - ( g / (2.v₀².(cos α)²)). y² + tan α.y + h_A

b) C a pour coordonnées : y_C = d et z_C = h_C

Pour que le centre A du ballon passe par C , il faut que : y = y_C et z =  z_C :

h_C = - ( g / (2.v₀².(cos α)²)). d² + tan α.d + h_A

-h_C + h_A + tanα.d = ( g / (2.v₀².(cos α)²)).d²  ⇒ v₀² = (g.d²)/(2.(cos α)²(- h_C + h_A + tanα.d))

v₀ = [g.d² /(2.cos²α.(-h_C+h_A+tanα.d)] = [ 9,8 x 6,2² /( 2 cos²40.(-3,0+2,4+tan40 . 6,2)]

v₀ = 8,35 m.s^-1

c) Pour que le défenseur touche le ballon du bout des doigts, il faut pour y = d' que z - h_B ≤ d/2

r = d / 2 (rayon du ballon).

z_max = h_B + d / 2 .     on a :   h_B + d / 2 = - ( g / (2.v₀².(cos α)²)). d'² + tan α.d' + h_A

soit :   3,1 + 0,25 / 2 = -( 9,8 / (2 x 8,35².(cos40)²)).d'² + tan40.d' + 2,4

soit :   0,12 d'² -0,84 d' + 0,825 = 0

Δ = b² - 4 a.c = 0,84² - 4 x 0,12 x 0,825 = 0,31  ;  Δ = 0,556

d'₁ = (-b - Δ)/ (2 a) = ( 0,84 - 0,556)/ (2 x 0,12) = 1,2 m
d'₂ = (-b + Δ)/ (2 a) = ( 0,84 + 0,556)/ (2 x 0,12) = 5,8 m

Ici, les 2 valeurs sont valables. En fait, le défenseur peut intercepter le ballon lors de sa montée ou de sa descente.
On demande la valeur maximale, il s'agit donc de d' = 5,8 m

 

ex 12 p 247

1) a) On étudie la boule dans le référentiel terrestre galiléen auquel on associe le repère (O, , ).

Le poids du ballon, vertical vers le bas est la seule force exercée sur le ballon.  P = m.g

On néglige les forces de frottement et la poussée d'Archimède de l'air.

On applique la 2^ème loi de Newton  :  Σ _ext = m.     ⇒   = m.   ⇒ =

Le vecteur est vertical vers le bas, il a pour coordonnées ( 0 , g ) 

=   ⇒  a_x = 0  et a_y = g ⇒   dv_x/dt = 0  et dv_y/dt = g  ⇒  v_x = v_x0 = 0   et   v_y = g.t + v_y0 = g.t

v_x = dx/dt = 0   et v_y = dy/dt = g.t   ⇒  x = x₀ = 0  et  y = g.t²/2 + y₀ = g.t²/2

La trajectoire est donc rectiligne, verticale vers le bas.

b) x₁ = 0

2) a) A l'instant t = 0 s, on lâche la bille avec une vitesse ₀ identique à celle du bateau, horizontale vers la droite. v₀ = v_h .

On applique la 2^ème loi de Newton  :  Σ _ext = m .      ⇒   = m .   ⇒ =

Le poids et la vitesse ₀ sont dans le plan (O,,) , la balle va donc rester dans ce plan au cours du mouvement.

La trajectoire est plane.

On ne considère donc que les coordonnées x et y .

Le vecteur ,vertical vers le bas, a pour coordonnées ( 0 , g ) .

=   ⇒  a_x = 0  et a_y = g ⇒   dv_x/dt = 0  et dv_y/dt = g

v_x = v_x0 = v_h   et   v_y = g.t + v_y0 = g.t      ⇒     v_x = dx/dt = v_h   et v_y = dy/dt = g.t 

⇒  x = v_h.t + x₀ = v_h.t + 0 = v_h.t    et    y = g.t²/2 + y₀ =  g.t²/2

t = x / v_h      ⇒  y = g.x² / 2v_h²

b) Sur le pont du navire, y = h = g.x₂² / 2v_h² 

⇒  x₂ = v_h.(2 h / g) = 3,0 x (2 x 12 / 9,8) = 4,7 m    ( dans le repère (O,, ))

c) t_c = x₂ / v_h = (2 h / g) = 1,56 s

d) x'₂ = v_h . t_c = v_h. (2 h / g) = x₂ = 4,7 m

3) En conclusion, la boule tombe toujours au même endroit sur le navire, c'est Salviati qui a raison

 

ex 13 p 248

a) On étudie le projectile dans le référentiel terrestre galiléen auquel on associe le repère (O,,).

Le poids du projectile, vertical vers le bas est la seule force exercée sur celui-ci.  P = m.g

On néglige les forces de frottement et la poussée d'Archimède de l'air.    vertical vers le haut.

On applique la 2^ème loi de Newton  :  Σ _ext = m.     ⇒   = m .   ⇒ =

Le vecteur est vertical vers le bas, il a pour coordonnées ( 0 , - g ) 

=   ⇒  a_x = 0  et a_y = - g ⇒ dv_x/dt = 0  et dv_y/dt = - g

⇒  v_x = v_x0 = 0   et   v_y = - g.t + v_y0 = - g.t + v₀

v_x = dx/dt = 0   et v_y = dy/dt = - g.t + v₀  ⇒  x = x₀ = 0  et  y = - g.t²/2 + v₀.t + y₀ = - g.t²/2 + v₀.t

La trajectoire est donc rectiligne et verticale .

A sa hauteur maximale, v_y = 0 = - g.t + v₀   ⇒  t₁ = v₀ / g     et  y₁ = h = - g.t₁²/2 + v₀.t₁

h = - v₀² / 2g + v₀² / g = v₀² / 2g  ⇒  v₀ = (2 g.h ) = (2 x 9,8 x 2,5) = 7,0 m.s^-1 

b) On étudie le projectile dans le référentiel terrestre galiléen auquel on associe le repère (O,,).

Le poids du projectile, vertical vers le bas est la seule force exercée sur celui-ci.  P = m.g

On néglige les forces de frottement et la poussée d'Archimède de l'air.

On applique la 2^ème loi de Newton  :  Σ _ext = m .     ⇒   = m .   ⇒ =

Le poids et la vitesse ₀ sont dans le plan (O,,) , le projectile va donc rester dans ce plan au cours du mouvement.

La 3^ème  coordonnée z reste nulle. .    vertical vers le haut

On ne considère donc que les coordonnées x et y.

Le vecteur est vertical vers le bas, il a pour coordonnées ( 0 , -g ) 

=   ⇒  a_x = 0  et a_y = - g ⇒   dv_x/dt = 0  et dv_y/dt = - g

v_y = v_x0 = v₀.cos α   et   v_y = -g.t + v_y0 = - g.t + v₀.sin α

v_x = dx/dt = v₀.cos α      et v_y = dy/dt = - g.t + v₀.sin α 

⇒  x = v₀.cos α.t + y₀ = v₀.cos α.t + 0 = v₀.cos α.t

y = - g.t²/2 + v₀.sin α.t + z₀ = - g.t²/2 + v₀.sin α.t 

Lorsque le projectile retombe, y₁ = 0 = - g.t₁²/2 + v₀.sin α.t₁ ⇒  g.t₁/2 = v₀.sin α , t₁ =2 v₀.sin α/ g

x₁ = d = v₀.cos α.t₁ = v₀.cos α.(2 v₀.sin α / g) = 2 v₀².sin α.cos α / g = v₀².sin 2 α / g

α = ½ sin^-1( d.g / v₀²) = ½ sin^-1( 2,0 x 9,8 / 5,0²) = 25,8°

c) On étudie le projectile dans le référentiel terrestre galiléen auquel on associe le repère (O, , ).

Le poids du projectile, vertical vers le bas est la seule force exercée sur celui-ci.  P = m . g

On néglige les forces de frottement et la poussée d'Archimède de l'air.

On applique la 2^ème loi de Newton  :  Σ _ext = m .     ⇒   = m .   ⇒ =

Le poids et la vitesse ₀ sont dans le plan (O,,) , le projectile va donc rester dans ce plan au cours du mouvement.

La 3^ème  coordonnée z reste nulle.     vertical vers le haut

On ne considère donc que les coordonnées x et y.

Le vecteur est vertical vers le bas, il a pour coordonnées ( 0 , -g ) 

=   ⇒  a_x = 0  et a_y = - g ⇒   dv_x/dt = 0  et dv_y/dt = - g

v_y = v_x0 = v₀.cos α   et   v_y = -g.t + v_y0 = - g.t + v₀.sin α

v_x = dx/dt = v₀.cos α      et v_y = dy/dt = - g.t + v₀.sin α 

⇒  x = v₀.cos α.t + y₀ = v₀.cos α.t + 0 = v₀.cos α.t

y = - g.t²/2 + v₀.sin α.t + z₀ = - g.t²/2 + v₀.sin α.t 

Lorsque le projectile retombe, y₁ = 0 = - g.t₁²/2 + v₀.sin α.t₁ ⇒  g.t₁/2 = v₀.sin α

v₀ =g.t₁ / (2 sin α ) = 9,8 x 20 / (2 x sin 60°) = 113 m.s^-1 

 

ex 15 p 248

Mouvement de A : Dans le référentiel terrestre galiléen,

on applique la 2^ème loi de Newton au système A : _A = m _A

⇒   = _A

⇒ a_Ax = 0 et a_Ay = -g  ⇒ v_Ax = v_A0 = v₀.cos α 

et  v_Ay = -g.t + v₀.sin α

x_A = v₀.cos α.t +0 = v₀.cos α.t

y_A = -g.t²/2 + v₀.sin α.t + y_A0 = -g.t²/2 + v₀.sin α.t

 

Mouvement de B : Dans le référentiel terrestre galiléen, on applique la 2^ème loi de Newton au système B :

_B = m _B ⇒   = _B ⇒ a_Bx = 0 et a_By = -g

⇒ v_Bx = v_Bx0 = 0 et v_By = -g.t + v_By0 = -g.t 

⇒ x_B = x_B0 = x₁  et  y_B= -g.t²/2 + y_B0 = -g.t²/2 + y₁

 

Rencontre de A et B : x_A = x_B  ⇒ v₀.cos α.t = x₁ ⇒ t = x₁ / (v₀.cos α)

y_A = y_B ⇒ -g.t²/2 + v₀.sin α.t = -g.t²/2 + y₁  ⇒ t = y₁/(v₀.sin α)

⇒ x₁/(v₀.cos α) = y₁/(v₀.sin α)   ⇒  y₁/ x₁ = tan α

 

Il faut en plus que l'impact a lieu au dessus du sol.  y_impact > 0   ⇒   -g.t²/2 + v₀.sin α.t > 0

t = x₁ / (v₀.cos α)  ⇒  - g.(x₁ / (v₀.cos α) ) / 2 + v₀.sin α > 0  ⇒  v₀ .sin α > g.x₁ / (2 v₀.cos α)

v₀ > (g.x₁ / 2 cos α.sin α)    ⇒  v₀ > (g.x₁ / sin 2 α)

 

ex 16 p 248

a) On étudie le gravier dans le référentiel terrestre galiléen auquel on associe le repère (O,,).

Le poids du gravier, vertical vers le bas est la seule force exercée sur celui-ci.  P = m . g

On néglige les forces de frottement et la poussée d'Archimède de l'air.

On applique la 2^ème loi de Newton  :  Σ _ext = m.     ⇒   = m.   ⇒ =

Le poids et la vitesse ₀ sont dans le plan (O,,) , le gravier va donc rester dans ce plan au cours du mouvement.

La 3^ème  coordonnée z reste nulle.     vertical vers le haut

On ne considère donc que les coordonnées x et y.

Le vecteur est vertical vers le bas, il a pour coordonnées ( 0 , -g ) 

=   ⇒  a_x = 0  et a_y = - g ⇒   dv_x/dt = 0  et dv_y/dt = - g

v_y = v_x0 = v₀.cos α   et   v_y = -g.t + v_y0 = - g.t + v₀.sin α

v_x = dx/dt = v₀.cos α      et v_y = dy/dt = - g.t + v₀.sin α 

x = v₀.cos α.t + y₀ = v₀.cos α.t+0 = v₀.cos α.t  et  y = -g.t²/2+v₀.sin α.t + z₀ = -g.t²/2+v₀.sin α.t 

b) x_A = - V.t + d  ( mouvement rectiligne horizontal )   et  y_A = 0

c) Lorsque le gravier retombe, y₁ = 0 = - g.t₁²/2 + v₀.sin α.t₁ ⇒  t₁ = 2 v₀.sin α / g

x₁ = 2 v₀².cos α.sin α / g = v₀².sin 2α / g

Il faut que  x₁ < x_A1 ⇒  2 v₀².cos α.sin α / g < - V.( 2 v₀.sin α / g) + d

d > (2 v₀.sin α / g ).( v₀.cos α + V)  ⇒ d > 46,8 m         ( V = 90 km.h^-1  = 25 m.s^-1  )

 

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