Exercices chap 14 Satellites et planètes 
ex 6 p 262
a) 3ème loi de Kepler : T2 / R3 = constante
b) pour Thébé : T
2 / R3 = T '2 / R'3 ; T = T ' .
(
R / R' )3 = 0,498 x (2,21
/ 1,81)3 = 0,672 j
|
satellite |
R ( x 105 km ) |
T ( jours) |
|
Amalthée |
1,81 |
0,498 |
|
Thébé |
2,21 |
0,672 |
|
Io |
4,21 |
1,77 |
|
Europe |
6,71 |
3,55 |
|
Ganymède |
10,7 |
7,15 |
pour Io , T 2 /R3 = T '2
/ R'3 ; R = R'.3(T / T ')2 =
1,81.105 x 3(1,77 / 0,498 )2
= 4,21.105 km
ex 7 p 262
TTerre = 365,26 j ; TMars = 686,26 j
D'après la 3ème loi de Kepler, , TT2 /RT3 = TM2 / RM3
RM = RT . 3(( TM/TT)2)
= 1,5.108 x 3(( 686,26 / 365,26)2)
= 2,28.108 km
ex 8 p 262 Satellites d'Uranus
|
Satellite |
Miranda |
Ariel |
Umbiel |
Titania |
Obéron |
|
période T en 105 s |
1,22 |
2,18 |
3,58 |
7,53 |
11,7 |
|
rayon r en 108 m |
1,3 |
1,92 |
2,67 |
4,38 |
5,86 |
|
r3 en 1024 |
2,20 |
7,08 |
19,03 |
84,03 |
201,23 |
|
T² en 1010 |
1,49 |
4,75 |
12,82 |
56,70 |
136,89 |
b) On retrouve la 3ème loi de Kepler : T2 / r3 = constante car sur le graphique, il y a proportionnalité entre T2 et r3 .
c) On applique la 2ème loi de Newton dans le référentiel
lié au centre d'Uranus supposé galiléen au système satellite S : 
U / S = mS . 
= dv/dt 
T
+ v²/r N et U / S = G.MU.mS/
r2 N
On a donc dv/dt = 0 et mS.v2 / r = G.MU.mS/
r2 ⇒ v2 = G.MU / r
v = D / T = 2 π
r / T ; v2 = 4 π 2 r2 / T2 ⇒ 4 π 2 r2 / T2 = G.MU
/ r ⇒ 4 π
2 / (G.MU) = T2 / r3
d) D'après la courbe : T2 = k r3 ; k = 136,9.1010 / 201,2.1024 = 6,80.10-15 s2.m-3
4 π 2 / (G.MU ) = k ⇒ MU = 4 π 2 / (G.k) = 8,70.1025 kg
ex 9 p 263
On applique la 2ème loi de Newton dans le référentiel géocentrique supposé galiléen au satellite S :
T
/ S = mS .
= dv/dt T
+ v²/(R+h) N et U / S = G.MT.mS/
(R+h)2 N
On a donc dv/dt = 0 et mS.v2 / (R+h) = G.MT.mS/
(R+h)2 ⇒ v2 = G.MT / (R+h)
v = D / T = 2 π
(R+h)/ T ; v2 = 4 π2 (R+h)2
/ T2 ⇒ 4 π2 (R+h)2
/ T2 = G.MT / (R+h)
⇒ 4 π2 / (G.MT) = T2 / (R+h)3 ⇒ MT = 4 π2.(R+h)3 / (T2.G)
MT = 4 x (3,14)2 x ( 6,38.106+500.103)3 / (( 5,68.103)2 x 6,67.10-11) = 5,97.1024 kg
ex 10 p 263
a) Cette trajectoire est décrite dans le référentiel héliocentrique.
b) la 3ème loi de Kepler, , T2 /R3 = T '2 / R'3 = 4 π2 / (G.MS)
c) TT2 / rT3 = 4 π2 / (G.MS) ;
MS = 4 π2.rT3 / (G.TT2) = 4 x 3,142 x (1,50.1011)3 / ( 6,67.10-11 x (3,16.107)2) = 2,00.1030 kg
ex 11 p 263
a) schéma. FJ
→ G = FG → J = F = G.MG.MJ
/ r2
F = 6,67.10-11 x 1,49.1023 x 1,90.1027 /
(1,07.109)2 = 1,65.1022 N
b) x = FJ → V / FG → V = (G.MV.MJ / (r – d)2) / (G.MV.MG / d2 )
x = ( MJ/MG).d2 / (r-d)2 = ( MJ/MG) / ( r /d – 1)2
x = (1,90.1027 / 1,49.1023) / (1,07.109 / 1,15.108- 1)2 = 185
ex 12 p 263
1) a) FS → T = G.MS.MT / rS2 = 6,67.10-11 x 1,99.1030 x 5,97.1024 / (1,50.1011)2 = 3,52.1022 N
b) FT → L = G.ML.MT / rL2 = 6,67.10-11 x 7,34.1022 x 5,97.1024 / (3,80.108)2 = 2,02.1020 N
2)
La Lune doit être entre le Soleil et la Terre pour que les 2 forces s'additionnent.
FL →
T = FT →
L = 2,02.1020 N
F = FS → T + FL → T = 3,52.1022 +2,02.1020 = 3,54.1022 N
3) La Terre doit être entre le Soleil et la Lune pour que les 2 forces se soustraient.
F = FS → T - FL → T = 3,52.1022 - 2,02.1020=3,50.1022N
4) Un effet observable sur Terre est le phénomène des marées. Ce qui varie en fonction de la position de la Lune est le coefficient de marée.
ex 13 p 263
a)
La force d'attraction gravitationnelle exercée par Saturne sur le satellite
est dirigée selon l'axe des centres de Saturne et du satellite vers Saturne. FSat → s =
G.M.m / r2
b) On applique la 2ème loi de Newton dans le référentiel
de Saturne supposé galiléen au système satellite s : Sat / s =
m .
= dv/dt T
+ v²/ r . N et Sat / s =
G.M.m/ r2 . N
On a donc dv/dt = 0 et m.v2 / r = G.M.m/ r2
⇒ v = constante , le mouvement est uniforme.
c) m.v2
/ r = G.M.m/ r2 ⇒ v2
= G.M / r ⇒ v = (
G.M / r)
d) v = D / T ( D : périmètre du cercle décrit par le satellite , T : période, temps pour faire un tour)
v = 2 π. r / T ; v2 = 4 π2.r2/ T2 = G.M / r ⇒ r3 / T2 = G.M / 4 π2 ⇒ T2 / r3 = 4 π2 / (G.M)
e) M = 4 π2.r3 / (G.T2 ) = 4 x 3,142 x (1,86.108)3 / ( 6,67.10-11 x (22,6 x 3600)2) = 5,75.1026 kg
ex 14 p 264
a)
schéma. La Terre exerce sur le satellite
une force d'attraction gravitationnelle : T
→ s = G.MT.m
/ (RT+h)2 N
b) On applique la 2ème loi de Newton dans le référentiel
géocentrique supposé galiléen au système satellite s : T → s = m .
=
dv/dt T + v²/ (RT+h) . N et T → s = G.MT.m/ (RT+h)2
.N
On a donc dv/dt = 0 et m.v2 / (RT+h) = G.MT.m/
(RT+h)2
⇒ v = constante , le mouvement est uniforme.
c) m.v2 / (RT+h) = G.MT.m/
(RT+h)2 ⇒ v2 = G.MT / (RT+h) ⇒ v = ( G.MT / (RT+h))
d) v = D / T = 2π.(RT+h) / T ⇒ v2 = 4 π2.(RT+h)2 / T2 = G.MT / (RT+h) ; 4 π2.(RT+h)3 = G.MT.T2
T = 2 π ((RT+h)3/
(G.M)) = 2 x 3,14 x ((6,38.106+1,33.106)3
/ (6,67.10-11 x 5,97.1024)
T = 6 740 s = 1 h 52 min 21 s
ex 15 p 264
a) Un satellite est géostationnaire s'il a un mouvement circulaire uniforme dans le plan de l'équateur et une période de 24 h.
b) schéma.
c) T → s = G.MT.m / (RT+h)2
N
( N
: vecteur normé dirigé de s vers le centre de la Terre )
d) On applique la 2ème loi de Newton dans le référentiel géocentrique supposé galiléen au système satellite s :
T
→ s = m . ;
= dv/dt T
+ v²/ (RT+h) . N
On a donc dv/dt = 0 et m.v2 / (RT+h) = G.MT.m / (RT+h) ; v2 = G.MT / (RT+h)
v = D / T = 2π.(RT+h)/ T ⇒ v2 = 4 π2.(RT+h)2 /T2 = G.MT /(RT+h) ; 4 π2.(RT+h)3 = G.MT.T2
h = 3(G.MT.T2/
4π2) - RT = 3(6,67.10-11
x 5,97.1024 x (24x3600)2/ (4 x 3,142))
- 6,38.106
h = 3,58.107 m ≈ 36 000 km
e) v = 2 π.(RT+h) / T = 2 x 3,14 x ( 6,38.106+3,58.107) / (24 x 3600) = 3,07.103 m.s-1
ex 16 p 264
a) échelle : 1 u.a. ↔ 2,2 cm . RS ↔ 3,3 cm.
RM = 3,3 / 2,2 = 1,5 u.a. = 1,5 x 1,5.1011 = 2,25.1011 m
b) D'après le schéma, un tour est effectué en 22,5 mois (on
compte les intervalles entre les points).
c) M13 M15 = (1,85/2,2) = 0,84 u.a.= 1,26.1011
m ;
M19 M21 =
(1,85/2,2) = 0,84 u.a.= 1,26.1011 m
v14 = M13 M15 / 2 τ = 1,261011 / (2 x 30 x 24 x 3600) = 2,43.104 m.s-1 = v20
Le mouvement de Mars est donc circulaire et uniforme.
d) schéma
e) Δ
= 14 – 12 ; Δv ↔ 1,2 cm
Δv = 1,2.104 m.s-1 ;
a13 = 1,2.104 / (2 x 30 x 24 x 3600 )
a13 = 2,3 m.s-2
Ce vecteur représente le vecteur accélération de Mars.
On constate que ce vecteur est centripète.
Ce qui est normal puisque = S
→ M
or S →M est centripète.
ex 18 p 264
1) a) On applique la 2ème loi de Newton dans le
référentiel géocentrique supposé galiléen au système Lune : T / L = ML
.
= dvL/dt T + vL²/ r . N et T / L = G.MT.ML
/ r2 . N
On a donc dvL/dt = 0 et
ML.vL2/ r = G.MT.ML
/ r2 ⇒ vL = constante
, le mouvement est uniforme.
b) ML.vL2
/ r = G.MT.ML / r2 ⇒ vL2 = G.MT
/ r ⇒ vL = ( G.MT / r)
c) vL = D / TL ( D : périmètre du cercle décrit par la Lune , TL : période, temps pour faire un tour)
vL = 2π.
r /TL ; vL2
= 4π2.r2/ TL2 =
G.MT / r ⇒ r3 / TL2 =
G.MT / 4 π2 ⇒ TL= 2π(r3
/ (G.MT ))
d) r3 / TL2 = G.MT / 4 π2 ⇒ TL2 / r3 = 4 π2 / G.MT = k
k = 4 x 3,142 / ( 6,67.10-11 x 5,97.1024) = 9,91.10-14 s2.m-3
e) TL = 27 x 24 x 3600 + 7,5 x 3600 = 2,36.106 s ;
r = 3( TL2
/ k ) = 3((2,36.106)2 / 9,91.10-14
) = 3,83.108 m
2) c = 2 r / Δt ⇒ r = c. Δt / 2 = 3,00.108 x 2,563 / 2 = 3,84.108 m
Cette valeur est très proche de la valeur précédente.
ex 19 p 264
I ) 1) a) La périhélie est le point de passage au plus près du soleil, 1 / r2 est donc le grand. D'après le tableau de valeurs, les dates encadrant la date de passage au périhélie sont le 05/02/86 et le 15/02/86, soent les positions C6 et C8 .
b)
Δ
= 8
- 6 ; Δv = 1,5.104 m.s-1
a7 = Δv / Δt = 1,5.104 / (10 x 24 x 3600)
a7 = 0,017 m.s-2
2) a) S → C = G.m.MS/ r2 . N
2) b) On applique la 2ème loi de Newton dans le référentiel héliocentrique supposé galiléen au système comète :
S
/ C = m . ⇒ = G.MS/ r2 . N ; a
= G.MS / r2
c) a = K. (1/ r2) avec K = G.MS
a7 = 6,67.10-11 x 2,0.1030 x 12,9.10-23 = 0,017 m.s-2 ;
Cette valeur est identique à celle trouvée à la question I.1.c
II ) Masse du Soleil :
1) La droite passe par l'origine. Pour calculer K, il faut 2 points : l'origine O ( 0 , 0 )
et le point ( 12.10-23 , 16.10-3 ) .
K = ( a1 – a0 ) / ( 1/r21 – 1/r20 ) = (16.10-3 – 0 ) / ( 12.10-23 – 0 ) = 1,33.1020
a = K.(1 / r2) = G.MS. ( 1/ r2) ⇒ MS = K / G = 1,33.1020 / 6,67.10-11 = 2,0.1030 kg
Cette valeur est en accord avec les données.
ex 20 p 266
1) h1 = 3,6.107 m , il est géostationnaire, sa période T1 vaut donc 24 h .
Les 2 satellites ont un mouvement uniforme comme tout satellite.
D'après la 3ème loi de Kepler, T12
/ r13 = T22 / r23 ⇒ r2 = r1.3( T22/T12)
h2
= ( h1 + RT ) . 3(
T22/T12) – RT = (6,4
+ 36).106 x 3(1/2)2
– 6,4.106 = 2,03.107 m
2) L'étude du mouvement du satellite doit se faire dans le référentiel géocentrique.
Le satellite subit une force d'attraction gravitationnelle de la Terre : F = G.m.M / (R + h)2
La loi de Kepler fait intervenir les rayons r et non h : T12 / r13 = T22 / r23
ex 21 p 266
1) On applique la 2ème loi de Newton dans le référentiel
géocentrique supposé galiléen au système satellite : T
/ s = m .
= dv/dt T
+ v²/ r . N et T / s = G.MT.m
/ r2 . N
On a donc dv/dt = 0 et m.v2/
r = G.MT.m / r2 ⇒ v2
= G.MT / r ⇒ v = ( G.MT / r)
v = (6,67.10-11 x
5,97.1024 / (6,38.106 + 400.103 ) = 7,66.103
m.s-1
b) v = D / T ( D : périmètre du cercle décrit par le satellite , T : période, temps pour faire un tour)
v = 2 π. r / T ; v2 = 4 π2.r2/ T2 = G.MT
/ r ⇒ r3 / T2 = G.MT
/ 4 π2 ⇒ T = 2π (r3 / (G.MT ))
T = 2 x 3,14 x (( 6,38.106 +400.103)3 / ( 6,67.10-11
x 5,97.1024 )) = 5,56.103 s = 1 h 32 min 39 s
c) Soit E un point de l'équateur. Le satellite s passe à la verticale de l'équateur à t = 0s.
E tourne avec la Terre, à un instant t, il a tourné de α = 2 π . t / TT ; le satellite lui a tourné de
β = 2 π . t / T . Le satellite est de nouveau à la verticale de E si β = α + 2 π
2 π . t / T = 2 π . t / TT + 2 π ⇒ t ( 1 / T – 1 / TT ) = 1 ⇒ t = T.TT / ( TT – T )
t = 5,56.103 x (24 x 3600) / ( 24 x 3600 – 5,56.103 ) = 5,94.103 s
2) a) hn+1 = hn .( 1 – 10-3 ) = 0,999 . hn
b) hn = h0 . 0,999n
c) hn / h0 = 100 / 400 = 0,999n ⇒ log 0,25 = n.log 0,999 ⇒ n = log 0,25 / log 0,999
n = 1,39.103 tours
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