Exercices – Chap 06 – Décroissance radioactive

ex 7 p 108

constante radioactive du sodium ²⁴Na : λ = 1,3.10^-5 s^-1

a)     demie-vie : t ½  = ln2 / λ = 5,3.10⁴  s

b)    constante de temps : τ = 1 / λ = 7,7.10⁴  s

c)     La demi-vie radioactive t ½  est la durée pour que la moitié des noyaux radioactifs présents dans l'échantillon se désintègrent.

τ a la dimension d'une durée, c'est l'inverse de λ.

 

ex 8 p 108      λ = 5,6.10^-7 s^-1

a)     L'activité A radioactive est égale au nombre moyen de désintégrations par seconde :
A = - ΔN / Δt = λ . N

b)    A₀ = λ . N₀ = 5,6.10^-7 x 10²⁴ = 5,6.10¹⁷ Bq

c)     A ½  = λ . N ½  = λ . N₀/ 2 = A₀ / 2 = 2,8.10¹⁷ Bq 
A(2t ½) =λ . N₀ .e^{-λ.2.ln2 / λ} = λ.N₀. / 4 = A₀/ 4 = 1,4.10¹⁷ Bq

 

ex 9 p 109    N₀ = 1,00.10²⁰

a)  ¹⁹₁₀Ne → ¹⁹₁₁Na + ⁰_-1e  

   b)    Graphique

c)     D'après le graphique :

N₁₂ = 6,2.10¹⁹

N_(0→12) = N₀ – N₁₂

N_(0→12) = (10,0-6,2).10¹⁹

N_(0→12) = 3,8.10¹⁹

N₂₄ = 4,0.10¹⁹

N_(12→24) = N₁₂ – N₂₄ = (6,2-4,0).10¹⁹ = 2,2.10¹⁹

d)    D'après le graphique , t ½ = 18 s

 

 

ex 10 p 110

a)     La demi-vie radioactive t _½ est la durée pour que la moitié des noyaux radioactifs présents dans l'échantillon se désintègrent.

N(t + t ½ ) = N(t) /2

b)    t ½ = ln2 / λ  ; λ = ln2 / t ½   ; N = N₀.e^{– ln2 . t / t ½}

date t	0	8 jours	1 an	30 ans	300 ans
N( 131I )	N0	N0 / 2	1,84.10-14.N0	0	0
N( 137Cs )	N0	≈ N0	0,977.N0	N0 / 2	9,76.10-4.N0

c)     Le plus dangereux pour l'homme est le césium 137 car il reste dangereux plus longtemps .

d)    A = λ.N.      A( ¹³¹I) = A( ¹³⁷Cs)   ⇒   (ln2/t ½ _(I)).N_I = (ln2/t ½ _(Cs)).N_Cs
N_Cs / N_I = t ½ _(Cs)/ t ½ _(I) = 30 x 365 / 8 = 1,37.10³

 

ex 12 p 109

a)     L'activité du technétium 99 décroît trop vite pour être utile en médecine, elle serait rapidement nulle .

En disposant de molybdène 99, on obtient régulièrement du technétium 99.

b)    A₀ = 3,7.10⁷ Bq.  t ½  _{(51 Cr)} = 28 j  .  A = λ . N = A₀ . e ^{–ln2. t/ t ½}
A_normal = 3,7.10⁷ . e ^{–ln2 x 2x 30 / 28} = 8,38.10⁶ Bq  ;
A_anémie ≈ 0 Bq car les globules rouges sont morts

c)     L'iode 132 a une activité trop courte pour être utilisée car la fonction de la thyroïde se fait sur plusieurs jours.

 

ex 13 p 109       à t = 0 s , m(²¹⁰Bi)= 15 μg = 15.10^-6 g   ;   t ½  = 5,0 j

a)     n(²¹⁰Bi) = m / M = 15.10^-6 / 210 = 7,14.10^-8 mol 
N₀ = n . N_A= 7,14.10^-8 x 6,02.10²³ = 4,30.10¹⁶ noyaux

b)    N₁ = N₀/ 2 = 2,15.10¹⁶ noyaux ; N₂ = N₀.e ^{– ln2. t / t ½}   = N₀/ 4 = 1,07.10¹⁶ noyaux

c)     N₃ = N₀/ 2¹⁰ = 4,2.10¹³ noyaux ; N₄ = N₀/ 2²⁰ = 4,1.10¹⁰ noyaux

d)    N₅ / N₀ = 4,3.10¹⁴ / 4,3.10¹⁶ = 0,01 ; N₅ / N₀ = e ^{– ln2. t5 / t ½}   ; ln ( 0,01 ) = - ln2.t₅ / t ½  
- 4,6 / ln2 = - t₅ / t ½  ⇒ t₅ = t ½  x 4,6 / ln2 = 33,2 j
N₆ / N₀ = 4,3.10¹³ / 4,3.10¹⁶ = 0,001 ; N₆ / N₀ = e ^{– ln2. t6 / t ½}   ; ln ( 0,001 ) = - ln2.t₆ / t ½  
- 6,9 / ln2 = - t₆ / t ½  ⇒ t₆ = t ½  x 6,9 / ln2 = 49,8 j

 

ex 14 p 109

a)     une particule β^- est un électron ⁰₊₁e

b)    ²¹²₈₂Pb → ²¹²₈₂Bi + ⁰₊₁e   Le nombre de nucléons et celui de protons doivent se conserver.

c)     t ½  = 10,6 h. Cela signifie : N( t + t ½ ) = N( t) / 2

d)    m(Pb)₀ = 10 g. n( Pb)₀ = m / M = 10 / 207,2 = 0,0483 mol.  N₀ = 2,9.10²² noyaux
N(t) = N₀.e ^{– ln2. t / t ½}  ,  N(31,8 h) = N₀ / 2 ^{31,8 / 10,6} = N₀ / 8 = 3,63.10²¹ noyaux
m(Pb)_{31,8 h} = (N / N_A) x 207,2 = ((N₀ / N_A) x 207,2) /8 = m(Pb)₀ / 8 = 10 / 8 = 1,25 g

 

ex 15 p 110     ²³⁷₉₀Th  radioactif α   ,  t _½  = 18 j    ,  m₀ = 1 μg

a)     ²³⁷₉₀Th → ²³³₈₈Ra + ⁴₂He    
t₁ = 36 j = 2 t ½ ,  N₁ = N₀ / 2² = N₀ / 4 , m₁ = m₀ / 4 = 0,25 μg
t₂ = 6 mois = 180 j = 10 t ½ ,  N₂ = N₀ / 2¹⁰ = N₀ / 1024 , m₂ = m₀ / 1024 = 9,77.10^-10 g

b)    m₀ / m₃ = 1 / 0,0156 = 64 = 2⁶ = N₀ / N₃  ⇒ t₃ = 6 x t ½  = 6 x 18 = 108 j
m₀ / m₄ = 1 / 0,0039 = 256 = 2⁸ = N₀ / N₃  ⇒ t₃ = 8 x t ½  = 8 x 18 = 144 j

c)     m = 1 ng ≈ 9,77.10^-10 g  ⇒ t = t₂ ≈ 6 mois

 

ex 16 p 110   m(¹³¹I) = 1 μg  ,  t _½  = 8 j

a)     N = N₀.e^{- ln2. t / t ½}   ⇒ m = m₀. 2 ^{-t / t ½}   = m₀. 2^-n = 2^-n μg

b)    m_{14 j} = 2 ^{–14 / 8} = 0,3 μg   ;  m_{3 mois} = 2 ^{– 3x30 / 8} = 4.10^-10 g = 0,0004 μg

c)     m = m₀. 2^-n  ⇒ m / m₀ = 1 / 2ⁿ

d)    m / m₀ = 0,004 = 1 / 2ⁿ = 1 / e^ln2.n  ⇒ ln 250 = ln2 . n  ⇒ n ≈ 8 ⇒ t = 8 x 8 = 64 j
m / m₀ = 0,001 = 1 / 2ⁿ = 1 / e^ln2.n  ⇒ ln 1000 = ln2 . n  ⇒ n ≈ 10 ⇒ t = 10 x 8 = 80 j

 

ex 17 p 110

a)     Il y a 3 erreurs la particule β^- est ⁰_-1e  et non ⁰₊₁e , le noyau fils est donc ³₂He  et non ³₀H 

b)    m₀ = 1,0 g = 1,0.10^-3 kg , N₀ = m₀ / M_noyau = 1,0.10^-3 / 5,0.10^-27 = 2.10²³ noyaux
N = N₀.e ^{–ln2 . t / t ½}  = N₀. 2^{- t / t ½} = 2.10²³. 2^{- 2 / 12} = 1,78.10²³ noyaux
N₀ – N = 2,18.10²² noyaux

 

ex 18 p 110  

noyaux ¹³⁵₅₄Xe  radioactifs β^-  

a)    ¹³⁵₅₄Xe → ¹³⁵₅₅Cs + ⁰_-1e  

b)    N (t) = N₀.e ^{– λ . t}

c)      graphique

d)    A = - dN / dt = λ . N₀. e ^{– λ . t}  
A = λ . N ,
A₀ = λ . N₀  ,  A = A₀. e ^{– λ . t}

e)     A₀ = 560 ,  A₁₀ = A₀. e ^{– 10 λ}  ,  267 = 560. e ^{– 10 λ}   ,
λ = ln (560 / 267) / 10 = 7,04.10^-2 h^-1   ,   t _½  = ln2 / λ = 3,37.10⁴  s = 9,36 h

 

ex 19 p 110  datation par le carbone 14

a)     ¹⁴₆C possède 6 protons et 8 neutrons. ¹²₆C possède 6 protons et 6 neutrons.
Ces noyaux sont des isotopes.

b)    Il y a conservation du nombre de protons et du nombre de nucléons lors d'une réaction nucléaire.

     ¹⁴₇N + ¹₀n → ¹⁴₆C + ¹₁p     . La particule émise ¹₁p est un proton.

c)     Le rayonnement β^- est une émission d'électrons.   ¹⁴₆C → ¹⁴₇N + ⁰_-1e

d)    La demi-vie radioactive t ½ est la durée pour que la moitié des noyaux radioactifs présents dans l'échantillon se désintègrent.

N(t + t ½ ) = N(t) / 2 .
D'après le graphique, N₀ = 100 , N(t ½ ) = 50 , t ½ = 5 570 ans

e)     1 atome  ¹⁴₆C pour 10¹² atomes de carbone dans un bois vivant.
1 atome ¹⁴₆C pour 8.10¹² atomes de carbone dans un bois ancien.
N / N₀ = (1/ 8.10¹²) / (1/ 10¹²) = 1/8 = e^{- λ.t}  
t = ln8 / λ = ln8 / (ln2 / t ½ ) = 3 t ½ = 16 710 ans

 

ex 20 p 111

a)  ¹⁴₆C → ¹⁴₇N + ⁰_-1e

b)    la période radioactive est la demi-vie t ½  . t ½  = 5 570 ans  , 
λ = ln2 / t ½ = ln2 / ( 5570 x 365 x 24 x 3600 ) = 3,95.10^-12 s^-1 = 1,24.10^-4 an^-1

c)     m = 0,1 g , m_C = 0,1 x 0,1 = 0,01 g  ,   A = 1 180 Bq = λ . N = λ . N₀ . e^{- λ . t}
N_C = ( m_C / M_C ) . N_A = (0,01 / 12) x 6.10²³ = 5.10²⁰ noyaux
N₀ = N_C / 10⁶ = 5.10¹⁴ noyaux

d)    A₀ = λ . N₀ = 3,95.10^-12 x 5.10¹⁴ ≈ 1 970 Bq , A =A₀. e^{- λ . t}   
t = ln(A₀/A) / λ = ln(1970 / 1180) / 3,95.10^-12 = 1,3.10¹¹ s = 4 130 ans

 

ex 21 p 111

a)     La particule α est un noyau d'hélium ⁴₂He . La particule β ^- est un électron ⁰_-1e
La particule β⁺ est un positon ⁰₊₁e. Le rayonnement γ  est une onde électromagnétique

b)    ⁴⁰₁₉K → ⁴⁰₁₈Ar + ⁰₊₁e

c)     t ½ =1,5.10⁹ ans , λ = ln2 / t ½ = ln2 / ( 1,5.10⁹ ) = 4,6.10 ^–10 an^-1

d)    m = 1 g  ;  V_Ar = 82.10 ^–4 cm³ = 82.10^-4 mL = 82.10^-7 L  ;  m_K = 1,66.10^-6 g.
n_Ar = V_Ar / Vm = 82.10 ^–7 / 22,4 = 3,66.10 ^–7 mol ; N_Ar = n_Ar . N_A = 2,2.10¹⁷ noyaux
n_K = m_K / M_K = 1,66.10 ^–6 / 39,96 = 4,15.10 ^–8 mol ; N_K = n_K . N_A = 2,5.10¹⁶ noyaux
N_Ar(t)= N₀.e ^{–λ . t} ;   N₀ = N_Ar + N_K = 2,45.10¹⁷ noyaux  ;  ln N_Ar(t)/N₀ = - λ.t   ; 
t = - ( ln N_Ar(t)/N₀ ) / λ = -ln(2,2.10¹⁷/2,45.10¹⁷) / 4,6.10^-10 = 2,34.10⁸ ans

 

ex 22 p 111

a)    ⁴⁰₁₉K → ⁴⁰₁₈Ar + ⁰₊₁e
Il s'agit d'une désintégration β⁺

b)    N_K(t) = N₀.e ^{-λ . t}  ,
N_Ar(t) = N₀ – N_K(t)
N_Ar(t) = N₀.(1-e ^{-λ . t})

c)     graphiques :

d)    N_Ar = N_K / 2  , N_K = N₀ – N_Ar

N_K = N₀ – N_K/2 ; 3/2 N_K = N₀ ; N_K = N₀ x 2/3    ; 

e ^{-λ . t} = 2/3  ;  t = -ln(2/3) / λ ;

t = ln(3/2) / (ln2 / t ½ ) = ln(3/2) x 1,5.10⁹ / ln2 = 8,77.10⁸ ans

 

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