Sujet Bac Antilles Juin 2005

Calculatrice NON autorisée

Antilles Juin 2005 - I ) Jeu de fête foraine :

Le but du jeu est d'envoyer une bille d'acier dans un trou. Pour lancer la bille, le joueur comprime un ressort, à spires non jointives, qui va le propulser lors de la détente. La bille roule ensuite sur un plan horizontal suivant la droite (AC), quitte ce plan pour chuter dans un des trous du sol. Le schéma du dispositif est représenté ci-dessous : (schéma non à l'échelle).

Etudions le mouvement de la bille, objet ponctuel, dans un référentiel terrestre supposé galiléen.

On néglige les frottements.

Données :

- intensité de la pesanteur : g = 10 m.s^-2

- masse de la bille m = 10 g

- constante de raideur du ressort : k = 25 N.m^-1

- masse du ressort : négligeable devant la masse de la bille.

Aide mathématique : 10ⁿ = 10^{n / 2}

I ) Propulsion de la bille :

Initialement, le ressort est au repos. Le joueur tire la poignée (compression du ressort) et la bloque avec la gâchette.

Il place la bille contre le cylindre en A', abscisse x_A' = - 10 cm sur l'axe (Ox).

1) Exprimer et calculer l'énergie potentielle élastique Epe(A') acquise par le ressort une fois comprimé. (Donner la valeur de Epe(A') avec deux chiffres significatifs)

Le joueur appuie sur la gâchette, le ressort se détend et reprend sa position initiale ; le cylindre arrête son mouvement sur la butée. La bille reste en contact avec le cylindre durant la détente jusqu'au point O. La bille se déplaçant sur un plan horizontal, son énergie potentielle de pesanteur est constante et on la prendra égale à zéro.

2) Quelle forme d'énergie acquiert la bille lors de la détente du ressort ?

Donner son expression littérale en précisant les unités.

3) Donner l'expression littérale de l'énergie mécanique du système {ressort-bille}.

4) Que peut-on dire de l'énergie mécanique sachant que les frottements sont négligeables ?

5) Quelle est la valeur de l'énergie cinétique de la bille au point O ? Justifier la réponse.

6) Déduire l'expression littérale de la vitesse v. Calculer la valeur de la vitesse de la bille v_O au point O.

La bille se déplace ensuite jusqu'au point C suivant la droite (OC).

7) La vitesse de la bille en C est-elle égale à la vitesse v_O ? Justifier la réponse.

II ) Chute de la bille :

La bille quitte à la date t = 0 le plan en C avec une vitesse v_C égale à 5,0 m.s^-1 et de direction horizontale.

1) Etablir l'expression vectorielle de l'accélération de la bille à partir du bilan des forces.

2) Donner les composantes du vecteur accélération dans le repère orthonormé (D, x, y).

3) Etablir les équations-horaires x(t) et y(t) du mouvement.

4) Déterminer les expressions littérale et numérique de l'équation y(x) de la trajectoire de la bille.

5) En déduire l'abscisse du trou dans lequel tombe la bille.

©Sciences Mont Blanc

Antilles Juin 2005 -II ) Détermination d'une constante d'équilibre par deux méthodes :

Quelques valeurs numériques pouvant aider à la résolution des calculs:

log(2,0.10^-4) = - 3,7	2 / 2,3 = 0,87	2 / 2,7 = 0,74	2 / 3 = 0,67	(10^a)^b = 10^a.b
1,0.10^-3 = 10.10^-4	(1,25)² = 1,56 » 1,6	4 / 2,5 = 1,6	5 / 4 = 1,25	100 / 1,25 = 80

I ) La transformation chimique étudiée :

L'acide éthanoïque CH₃CO₂H , également appelé acide acétique, réagit de façon limitée avec l'eau selon l'équation chimique :

CH₃CO₂H_(aq) + H₂O_(l) = CH₃CO₂^-_(aq) + H₃O⁺_(aq)

1) Donner la définition d'un acide selon Brönsted.

2) Dans l'équation ci-dessus, identifier puis écrire les deux couples acide/base mis en jeu.

3) Exprimer la constante d'équilibre K associée à l'équation de cet équilibre chimique.

II ) Etude pH-métrique :

Une solution d'acide éthanoïque, de concentration molaire initiale c₁ = 2,7.10^-3 mol.L^-1 et de volume V₁ = 100 mL

a un pH de 3,70 à 25°C.

1) Déterminer la quantité de matière initiale d'acide éthanoïque n₁.

2) Compléter le tableau d'avancement (à rendre avec la copie) en fonction de n₁ , x_max ou x_f . Exprimer puis calculer l'avancement maximal théorique noté x_max . Justifier la réponse.

Equation chimique		CH₃CO₂H_(aq) + H₂O_(l) = CH₃CO₂^-_(aq) + H₃O⁺_(aq)
Etat du système	Avancement (mol)	Quantités de matière (mol)
Etat initiale
En cours de transformation
Etat final si transformation limitée
Etat final si transformation totale

3) Déduire, de la mesure du pH, la concentration molaire finale en ions oxonium de la solution d'acide éthanoïque.Exprimer puis calculer l'avancement final expérimental de la réaction noté x_f

4) Donner l'expression littérale du taux d'avancement final t₁ de la réaction. Vérifier, en posant l'opération, que t₁ est égal à 7,4.10^-2

La transformation étudiée est-elle totale ? Justifier la réponse.

5) a) Exprimer puis calculer la concentration molaire finale en ions éthanoate CH₃CO₂^-_(aq) .

b) Exprimer la concentration molaire finale effective de l'acide éthanoïque [CH₃CO₂H]_f .

Calculer sa valeur.

6) Vérifier, en posant l'opération, que la valeur de la constante d'équilibre K₁ associée à l'équation de cet équilibre chimique est égale à 1,6.10^-5 .

III ) Etude conductimétrique :

On mesure ensuite, à 25°C, la conductivité d'une solution d'acide éthanoïque de concentration c₂ = 1,0.10^-1 mol.L^-1 . Le conductimètre indique s = 5,00.10^-2 S.m^-1 .

On rappelle l'équation de la réaction entre l'acide éthanoïque et l'eau :

CH₃CO₂H_(aq) + H₂O_(l) = CH₃CO₂^-_(aq) + H₃O⁺_(aq)

1) On néglige toute autre réaction chimique. Citer les espèces ioniques majoritaires présentes dans cette solution. Donner la relation liant leur concentration molaire.

2) Donner l'expression littérale de la conductivité s de la solution en fonction des concentrations molaires finales en ions oxonium et en ions éthanoate.

3) Donner l'expression littérale permettant d'obtenir les concentrations molaires finales ioniques en fonction de s, l(H₃O⁺) , l(CH₃CO₂^-).

Déterminer la valeur de la concentration molaire finale en ions oxonium et éthanoate en mol.m^-3, puis en mol.L^-1 .

Données : l(H₃O⁺) = 35,9.10^-3 S.m².mol^-1 ; l(CH₃CO₂^-) = 4,1.10^-3 S.m².mol^-1

4) L'expérimentateur affirme que dans le cas présent, la solution d'acide éthanoïque est suffisamment concentrée pour pouvoir faire les approximations suivantes :

Approximation 1 : la concentration molaire finale en ions éthanoate est négligeable devant la concentration initiale en acide éthanoïque. Ceci se traduit par l'inégalité : [CH₃CO₂^-]_f < c₂ / 50

Approximation 2 : la concentration molaire finale en acide éthanoïque est quasiment égale à la concentration initiale en acide éthanoïque : [CH₃CO₂H]_f » c₂ .

a) Comparer les valeurs de c₂ et [CH₃CO₂^-]_f (calculée à la question III) 3)).

L'approximation n°1 est-elle justifiée ?

b) En supposant que l'approximation n°2 soit vérifiée, que peut-on dire de la dissociation de l'acide ? En déduire si la transformation chimique est totale, limitée ou très limitée. Justifier la réponse.

c) En tenant compte de l'approximation n°2, vérifier, en posant l'opération, que la valeur de la constante d'équilibre K₂ associée à l'équation de cet équilibre est égale à 1,56.10^-5 .

d) Le taux d'avancement final pour la solution considérée est donné par l'expression : t₂ = [CH₃CO₂^-]_f / c₂

Vérifier en posant l'opération, que le taux d'avancement final de la réaction t₂ est égal à 1,25.10^-2

IV ) Conclusion : Comparaison des résultats obtenus :

On vient d'étudier deux solutions d'acide éthanoïque de concentrations initiales différentes.

Les résultats sont rassemblés dans le tableau ci-dessous :

	Concentration molaire initiale d'acide éthanoïque	Constante d'équilibre	Taux d'avancement final
Etude pH-métrique	c₁ = 2,7.10^-3 mol.L^-1	K₁ = 1,6.10^-5	t₁ = 7,40.10^-2
Etude conductimétrique	c₂ = 1,0.10^-1 mol.L^-1	K₁ = 1,6.10^-5	t₂ = 1,25.10^-2

1) La constante d'équilibre K dépend-elle de la concentration initiale en acide éthanoïque ?

Justifier la réponse à partir du tableau.

2) Le taux d'avancement final de la transformation chimique limitée dépend-il de l'état initial du système chimique ? Justifier la réponse à partir du tableau.

3) Un élève propose les deux affirmations suivantes. Préciser si elles sont justes ou fausses, une justification est attendue.

Affirmation 1 : Plus l'acide est dissocié et plus le taux d'avancement final t est grand.

Affirmation 2: Plus la solution d'acide éthanoïque est diluée, moins l'acide est dissocié.

©Sciences Mont Blanc

Antilles Juin 2005 - III ) Sonde thermique :

On peut constituer une sonde thermique à l'aide d'un dipôle (R,C) série. On réalise le circuit suivant :

Le condensateur a une capacité C = 1,0 mF.

Le conducteur ohmique est une thermistance : la valeur R dépend de la température. On le place dans une enceinte dont la température interne est notée q.

Un système d'acquisition permet d'enregistrer l'évolution au cours du temps de la tension u_C aux bornes du condensateur.

Aide mathématique :

0,63 x 4,0 = 2,5

0,37 x 4,0 = 1,5

e⁰ = 1

lim e^x = 0

x ® - ¥

I ) Etalonnage de la soude :

Protocole expérimental :

On souhaite tracer la courbe de l'évolution de la valeur de la résistance de la thermistance en fonction de la température. On réalise le protocole suivant :

Le condensateur est initialement déchargé et les deux interrupteurs K₁ et K₂ sont ouverts.

A t = 0, on ferme K₁ et on enregistre l'évolution de la tension u_C jusqu'à la fin de la charge du condensateur. Ensuite, on ouvre K₁ et on ferme K₂ : le condensateur se décharge complètement. On ouvre enfin K₂.

On modifie la température de l'enceinte et on recommence le protocole précédent. On opère pour plusieurs valeurs de température et on obtient le graphique suivant :

A l'aide des résultats expérimentaux, étudions la charge du condensateur.

1) Etablir la relation entre la tension E aux bornes du générateur, la tension u_R aux bornes du conducteur ohmique et la tension u_C aux bornes du condensateur.

2) Déterminer l'équation différentielle vérifiée par la tension u_C pendant la phase de charge.

3) La solution analytique de cette équation est de la forme : u_C = A + B.e^{–t / (R.C)}

a) En tenant compte des conditions finales de la charge, déterminer A.

b) En tenant compte des conditions initiales de la charge, déterminer B.

c) Déduire l'expression de u_C.

4) On donne l'expression de la constante de temps du dipôle (R,C) : t = R.C

a) Vérifier par analyse dimensionnelle l'homogénéité de cette formule.

b) Déterminer la valeur t₁ de la constante de temps, relative à la température q₁ = 20°C, à partir du graphique. Expliquer la méthode employée.

c) En déduire la valeur R₁ de la résistance correspondante.

d) Procéder de la même manière pour les autres températures et compléter le tableau à rendre avec la copie. ( Seules les cases blanches sont à compléter)

Température q(°C)

q₁ = 20

Constante de temps

t (ms)

t₁=

Résistance R (k W)

R₁ =

1,07

0,74

0,49

0,34

e) Tracer sur papier millimétré ( à rendre avec la copie) la courbe d'étalonnage R = f(q) en respectant l'échelle suivante : abscisse : 1 cm pour 5°C ; ordonnée : 1 cm pour 0,1 kW

II ) Mesure d'une température :

Essayons la sonde thermique en la plaçant dans une enceinte de température interne q à déterminer. On mesure la résistance de la thermistance à l'aide d'un ohmmètre et on obtient :

R = 0,50 kW. En vous servant de la courbe d'étalonnage, déterminer la température de l'enceinte.

Antilles Juin 2005 - III ) Modulation d'amplitude (spe) :

Quelques valeurs numériques pouvant être nécessaire à la résolution des calculs :

6,75 / 40 = 0,169	4,5 / 13 = 0,346	40 / 6,75 = 5,93
1 / 4,5 = 0,222	1 / 0,346 = 2,89	1 / 2,25 = 0,444

Les ondes électromagnétiques ne peuvent se propager dans l'air sur de grandes distances que dans un domaine de fréquences élevées. Les signaux sonores audibles de faibles fréquences sont convertis en signaux électriques de même fréquence puis associés à une onde porteuse de haute fréquence afin d'assurer une bonne transmission.

I ) La chaîne de transmission :

Le schéma 1 suivant représente la chaîne simplifiée de transmission d'un son par modulation d'amplitude. Elle est constituée de plusieurs dispositifs électroniques.

1) Parmi les cinq propositions ci-dessous, retrouver le nom des quatre dispositifs électroniques numérotés.

Dispositifs électroniques : Antenne, amplificateur HF (Haute fréquence), générateur HF (haute fréquence), multiplieur, voltmètre.

2) Quels sont les signaux obtenus en B, C et D parmi ceux cités ci-dessous ?

- Porteuse notée u_P(t) = U_{P (max)}.cos(2p.F.t)

- Signal modulant BF noté u_S(t) + U₀

- Signal modulé noté u_m(t)

3) Le signal électrique recueilli en A à la sortie du microphone correspond à la tension électrique u_S(t). Une boîte noire est intercalée entre les points A et B. Quel est son rôle ?

4) Le dispositif électrique (2) effectue une opération mathématique simple qui peut être :

- (u_S(t) + U₀) + u_P(t)

- (u_S(t) + U₀) x u_P(t)

Choisir la bonne réponse sachant que l'expression mathématique du signal obtenu est :

u_m(t) = k.(U₀ + u_S(t)).U_{P (max)}.cos(2p.F.t)

II ) La modulation d'amplitude :

La voie X d'un oscilloscope bicourbe est reliée en B et la voie Y est reliée en D. L'oscillogramme obtenu est le suivant :

1) Estimer les valeurs des périodes T_S et T_P du signal modulant et de la porteuse.

2) Rappeler l'expression théorique de la fréquence f en fonction de la période T avec les unités, puis calculer les fréquences f du signal modulant et F de la porteuse.

3) L'amplitude de la tension du signal modulé u_m(t) varie entre deux valeurs extrêmes, notées respectivement U_{m (max)} et U_{m (min)} Le taux de modulation m s'exprime par :

m = (U_{m (max)} – U_{m (min)}) / (U_{m (max)} + U_{m (min)})

a) Calculer les valeurs des tensions maximale U_{m (max)} et minimale U_{m (min)} du signal modulé.

b) En déduire la valeur de m.

c) A quoi correspondrait un taux de modulation m supérieure à 1 ?

4) Le taux de modulation s'exprime aussi en fonction de la tension maximale du signal modulant U_{S (max)} et de la tension U₀ selon l'expression suivante : m = U_{S (max)} / U₀

a) Quelle condition doit-on satisfaire pour obtenir un taux de modulation m < 1 ?

b) Quelle autre condition est nécessaire pour obtenir une bonne modulation ?

c) L'analyse en fréquence du signal montre que celui-ci est composé de trois fréquences f₁, f₂, f₃.

En fonction de la fréquence du signal modulant f et de la fréquence de la porteuse F, exprimer les fréquences apparaissant sur le spectre ci-dessous.