Sujet Bac Réunion Juin 2005

Calculatrice autorisée

 

I ) Recherche d'un modèle de force de frottement(6 points)

II ) Evolution de la réaction de l'ammoniac avec l'eau (3 points)

III ) Scintigraphie thyroïdienne (4 points)
I ) Extraits de la notice d'utilisation d'un télescope(spe) (4 points)

 

Réunion Juin 2005 - I ) Recherche d'un modèle de force de frottement :

Données pour l'exercice :

•    Volume de la bille en acier : V = 0,52 cm³

•    Masse volumique de l'acier : r_a = 7850 kg/m³

•    Masse volumique de l'huile : r_h = 920 kg/m³

•    Accélération de la pesanteur au lieu de l'expérience : g = 9,8 m/s².

On réalise la chronophotographie de la chute d'une bille sphérique en acier dans l'huile. Pour ce faire, on filme la bille dans une éprouvette remplie d'huile, avec un caméscope numérique au rythme de 50 images par seconde. Grâce à un traitement adéquat des images, on obtient le document 1 . On repère ensuite la position, sur chaque image, du centre d'inertie de la bille : M₀ correspond à sa position initiale, celle-ci étant lâchée, à un instant t₀ pris comme origine des dates, sans vitesse initiale.

A ) Exploitation de l'enregistrement :

1) En vous aidant des documents 1 et 2 , préciser les caractéristiques du mouvement de la bille entre les positions M₁₅ et M₂₁. Quelle est la loi de Newton ainsi illustrée?

 

2) A partir des conditions de prise de vue données ci-dessus, justifier les valeurs qui apparaissent dans la colonne temps t (ms) du tableau du document 2.

B ) Etude cinématique

Le point M₀ étant pris comme origine des espaces et des temps (y = 0 et t = 0), on repère les différentes hauteurs réelles de chute de la bille dans l'huile, notées y, aux dates t correspondantes. On calcule alors les vitesses correspondantes. Les différentes grandeurs sont notées dans le tableau du document 2.

1) Calculer la vitesse de la bille pour la position M₆

 

2) Calculer l'accélération de la bille pour la position M₁₈. Le résultat obtenu est-il compatible avec celui obtenu au A) 1) ? Argumenter la réponse.

N.B. : Pour les questions B) 1) et B) 2), on aura soin de préciser scrupuleusement la méthode employée pour déterminer les valeurs de la vitesse et de l'accélération aux points demandés.

C ) Etude dynamique :

1) Sur un schéma, faire figurer, sans souci d'échelle, toutes les forces s'exerçant au centre d'inertie G de la bille tombant dans l'huile.

 

2) Calculer la masse m de la bille.

 

3) Donner l'expression littérale de la poussée d'Archimède, P_a, s'exerçant sur la bille plongée dans l'huile. Calculer sa valeur.

D ) Equation différentielle du mouvement de la bille :

Soit f l'intensité de la force de frottement à laquelle est soumise la bille en mouvement dans l'huile.

1) Par application du théorème du centre d'inertie que l'on énoncera, établir que le mouvement de la bille obéit à une équation différentielle du type : dv/dt + f / m = A, où A est une constante et v la vitesse de la bille.

 

2) Donner l'expression littérale de A puis calculer sa valeur. Préciser son unité.

E ) Recherche de modèles pour la force de frottement :

On se propose de déterminer expérimentalement si l'intensité de la force de frottement f à laquelle est soumise la bille en mouvement dans l'huile est de la forme f = k₁. v ou        f = k₂. v², k₁ et k₂ étant des constantes, et v étant la vitesse de la bille.

On utilise un tableur pour représenter la vitesse de la bille en fonction du temps. On obtient le graphe du document 3: les points expérimentaux obtenus y sont représentés sous forme de losange.

On détermine ainsi la valeur de la vitesse limite de chute de la bille : v_lim = 0,95 m/s.

1) Première hypothèse : f = k₁. v

a) Montrer que l'équation différentielle précédente peut alors se mettre sous la forme :

 dv/dt + B₁.v = A où A est la constante déterminée dans la partie D.

b) Lorsque la vitesse de la bille atteint la vitesse limite V_|im, que devient le terme dv/dt de l'équation différentielle précédente ? En déduire l'expression littérale de B₁ en fonction de A et V_|im. Calculer alors la valeur de la constante k₁, et préciser son unité.

 

2) Deuxième hypothèse : f = k₂ . v².

Dans ce cas, l'équation différentielle se met sous la forme : dv/dt + B₂.v² = A

Déterminer l'expression littérale de B₂ en fonction de A et V_|im.

Calculer alors la valeur de la constante k₂ et préciser son unité.

 

3) Comparaison des deux modèles précédents :

Grâce au tableur et à la méthode d'Euler, on détermine les courbes théoriques correspondant aux deux modèles précédents. Le premier modèle noté « modèle n°1 » sur le document 3  correspond à l'hypothèse d'une force de frottement du type   f = k₁. v.

Le second modèle noté « modèle n°2 » correspond à l'hypothèse d'une force de frottement du type f = k₂ . v².

En vous aidant du document 3, préciser les domaines de vitesse, sous forme d'un encadrement, pour lesquels chacun des deux modèles précédents semble coïncider le mieux avec les points expérimentaux.

 

Document 1 : chronophotographie de la chute d'une bille d'acier dans l'huile.

 

 

Document 2 : tableau donnant la vitesse de la bille suivant sa position

 

 

 

 

Document 3 : Courbes théoriques et points expérimentaux.

 

©Sciences Mont Blanc

 

 

 

Réunion Juin 2005 - II ) Evolution de la réaction de l'ammoniac avec l'eau :

 

Une bouteille d'ammoniaque du commerce comporte l'indication 22° Bé, ce qui correspond à une concentration molaire

C₀ = 10,9 mol.L^-1.

Cette solution sera nommée S₀.

Dans une solution aqueuse d'ammoniac, l'équilibre entre l'ammoniac NH₃ et les ions ammonium NH₄⁺ s'écrit :     

NH_{3 (aq)} + H₂O_(l) = HO^-_(aq) + NH₄⁺_(aq).

Données (valeurs à 25 °C):

Quotient de la réaction de l'ammoniac avec l'eau à l'équilibre : Q_r, _éq= 1.58.10^-5

Produit ionique de l'eau : Ke = 1,00.10^-14

1^ère partie : Détermination du quotient de réaction par pH-métrie :

La « basicité » de la solution S₀ étant trop élevée pour être mesurée directement au pH-mètre, on prépare 50,0 mL d'une solution diluée S₁ de concentration C₁ = C₀ /10.

Le pH mesuré de S₁ est 11,62.

1) Quel volume de la solution S₀ doit-on prélever pour préparer la solution S₁?

 

2) Proposer un mode opératoire pour préparer la solution S₁.

 

3) Montrer que la concentration en ion hydroxyde dans la solution S₁ est :  [HO^-]_(S1)= 4,2.10^-3 mol.L^-1

 

4) Compléter le tableau d'avancement donné en annexe pour la réaction de l'ammoniac avec l'eau dans la solution S₁ en considérant un volume V’₁ = 1,0 L.

 

5) En déduire la valeur du taux d'avancement final t₁. Commenter le résultat obtenu.

 

6)  Calculer le quotient de réaction Q_r,₁ à l'état final et montrer que le système est à l'équilibre aux incertitudes de mesure près.

2^ème partie : Détermination du taux d'avancement de la réaction de l'ammoniac sur l'eau par conductimétrie :

Valeurs des conductivités molaires ioniques à 25 °C :

l°( HO^-) = 19.9.10^-3 S.m².mol^-1      l°( NH₄⁺) = 7.34.10^-3 S.m².mol^-1

L’expression de la conductivité d'une solution s = S l_i [ X_i] n'est valide qu'en solution très diluée. A partir de la solution S₁ d'ammoniac, on prépare une solution fille, nommée S₂ de concentration C₂ = C₁/100 = C₀/1000 .

A) Hypothèse: On fait l'hypothèse que les quantités de matière des espèces en solution n'ont pas changé lors de la dilution.

1) En déduire l'expression littérale de la  concentration [HO^-]_(hyp) en fonction de [HO^-]_(S1), de même pour [NH₄⁺]_(hyp) en fonction de [NH₄⁺] _(S1) et [NH₃] _(hyp) en fonction  de [NH₃] _(S1)

 

2)  Montrer que le quotient de réaction Q_r,hyp obtenu avec cette hypothèse est égal à Q_r,₁/100.

 

3)  Le comparer à Q_r,eq. En déduire si l'hypothèse est effectivement vérifiée. Sinon dans quel sens évolue le système lors de la dilution ? Justifier.

 

B) Conductimétrie:

Pour confirmer ou infirmer l'hypothèse précédente, on mesure la conductivité a de la solution S₂: s = 0,114 mS.cm^-1.

1) Donner la valeur de s dans le système international.

 

2) Exprimer la conductivité s de la solution S₂ en fonction des conductivités molaires ioniques et des concentrations effectives [NH₄⁺] _(S2) et [HO^-]_(S2), dans cette solution.

 

3)  En utilisant le tableau d'avancement de la réaction de l'ammoniac sur l'eau et les données du texte en déduire [HO^-]_(S2),

 

4) Calculer le taux d'avancement final t₂ de la réaction de l'ammoniac sur l'eau.

 

5) La dilution de la solution mère agit-elle sur le taux d'avancement de la réaction de l'ammoniac sur l'eau ? Si oui dans quel sens. L'hypothèse émise dans la partie 1 est-elle confirmée ?

 

 

Annexe   (à remettre avec la copie )

 

Tableau d'avancement exprimé en moles pour un volume V’₁  = 1.0 L.

          

©Sciences Mont Blanc

 

 

 

Réunion Juin 2005 - III ) Scintigraphie thyroïdienne :

 

Donnée : Numéro atomique de l'élément iode : Z(I) = 53.

 

La thyroïde est une glande, située dans la région cervicale antérieure, appliquée contre le larynx et la partie supérieure de la trachée. La fonction principale de cette glande est la sécrétion des hormones thyroïdiennes à partir de l'Iode alimentaire qui se fixe temporairement sur cette glande.

 

De petite taille, pesant 15 à 25 g chez l'adulte et mesurant environ 4 cm en largeur et 3 cm en hauteur, elle n'est normalement pas, ou à peine, palpable. Mais elle peut s'hypertrophier, soit de manière plus ou moins diffuse et homogène, soit de manière localisée avec la formation de nodule(s). Ces nodules peuvent principalement être de deux sortes : hypofixant ou hyperfixant.

Ils sont dits hypofixants s'ils fixent peu d'iode par rapport au reste de la thyroïde.

Inversement, ils sont dits hyperfixants s'ils fixent plus d'iode que le reste de la thyroïde.

 

Ce sont ces nodules qu'il faut déceler pour traiter le patient si nécessaire. Ceci est réalisé à l'aide de traceurs radioactifs, les isotopes ¹²³I  et ^13II, de constantes radioactives respectives

l.₁₂₃ = 1,459.10^-5 s^-1 et l₁₃₁ = 1,001.10^-6 s^-1. Ces isotopes sont en effet des émetteurs de rayons gamma pouvant être détectés par un appareil de mesure appelé "détecteur à scintillations".

La condition pour que l'appareil de mesure utilisé ici compte les rayons gamma, est que ceux-ci aient une énergie supérieure à 20 eV. Il en résulte alors une image reconstituée de l'organe étudié, sur laquelle les zones foncées représentent les zones de l'organe fortement émettrices en rayons gamma. La scintigraphie est donc une sorte de photographie.

 

Lorsque l'analyse est pressée, on préfère utiliser l'isotope ¹²³I qui nécessite un temps de pose de l'ordre du quart d'heure. On injecte alors, au patient, une dose de ¹²³I, d'activité A = 7,0 MBq, contenu dans une solution d'iodure de sodium NaI où l'iode est le traceur radioactif. On laisse alors l'iode se fixer, soit environ 4 heures, temps au bout duquel on réalise la scintigraphie.

1) Choix de l'isotope ¹²³I :

a) L'isotope ¹²³I est préparé par réaction nucléaire entre un deutérium  ²₁H de haute énergie, et du tellure ¹²²₅₂Te.

Ecrire l'équation correspondante. Préciser les lois de conservation utilisées et le nom de la particule émise.

b) Calculer le temps de demi-vie des deux isotopes. Quel peut être alors l'avantage d'utiliser l'isotope ¹²³I par rapport au ¹³¹I ? Justifier.

2) Administration de l'iode à un ensemble de patients.

L'hôpital commande un flacon d'une solution de NaI avec de l'iode ¹²³I, pour l'utiliser sur plusieurs patients.

Pour des raisons pratiques, les injections sont effectuées toutes les 30 minutes.

La première injection a lieu le matin à 9 h. Juste avant cette injection, l'activité du flacon de l'hôpital est de 28,5 MBq.

A chaque injection, on prélève une dose d'activité égale à 7 MBq.

a) Quelle est l'activité de la solution restant dans le flacon juste après l'injection (supposée instantanée) au premier patient ?

b) Calculer la valeur de e^{- l.Dt}, si Dt = 30 min.

En déduire l'activité du flacon à 9h30, juste avant l'injection au second patient.

c) Les injections suivantes ont lieu toutes les demi-heures. Combien de patients pourront alors recevoir la dose nécessaire (7 Mbq) à la réalisation d'une scintigraphie?

3) Précaution et analyse des images obtenues.

a) Quel est le nombre de noyaux radioactifs N₀ injectés à chaque patient?

b) Il est courant de réaliser une deuxième injection aux patients, afin de vérifier que le traitement a été efficace. On estime qu'entre 2 injections à un patient, il doit s'écouler environ 6 semaines afin que la première n'influence pas la scintigraphie de la deuxième. Montrer que la première injection n'a alors aucune influence sur la scintigraphie qui suit la deuxième injection.

c) La scintigraphie permet d'obtenir les images ci-dessous. On y trouve notamment une thyroïde comportant un nodule, puis cette thyroïde après traitement.

S'agit-il d'un nodule hyperfixant ou hypofixant ? Justifier.

 

 

 

©Sciences Mont Blanc

 

 

Réunion Juin 2005 - I ) Extraits de la notice d'utilisation d'un télescope (spécialité) :

 

Caractéristiques :

Télescope 114/900

Référence : T41

Télescope Newton à miroir alumine, sur monture équatoriale pour toutes observations :

lunaires, planétaires, stellaires.

Diamètre 114mm

Focale 900mm

Deux oculaires: 6mm et 20mm

Grossissements 45x, 150x,

Monture équatoriale avec flexibles, motorisable, trépied aluminium.

 

 

Comment ça marche ?

Le télescope est un système optique conçu pour l'observation des astres. Le télescope que vous avez acheté s'appelle un télescope réflecteur type Newton. C'est un tube ouvert à une extrémité avec un miroir courbe à l'autre.

Les rayons lumineux rentrent par l'extrémité ouverte du tube et viennent frapper le miroir courbe appelé "miroir principal".

Les rayons réfléchis par ce miroir viennent ensuite en frapper un second appelé "miroir diagonal" (miroir secondaire)

Ce petit miroir plan, placé au centre du tube à 45 degrés, renvoie l'image formée par le miroir principal, sur le côté où on l'observe avec l'oculaire qui joue le rôle de loupe.

Par suite de la courbure du miroir principal, les rayons de lumière sont courbés pour se concentrer en un point. Le miroir principal d'un télescope doit être poli exactement selon la courbure appropriée afin de garantir le point focal correct. Il est très important que les deux miroirs soient dans le bon alignement pour obtenir les meilleurs résultats.   (A   vérifier régulièrement)

Ce télescope est muni d'une monture équatoriale qui permet le déplacement du tube et donc l'observation d'un astre dans toutes les directions.

Partie A : Questions sur la notice

1) Nommer sur votre copie les éléments optiques légendes 1, 2, 3 sur le schéma de la notice.

 

2) Que signifient les indications : Diamètre 114 mm, Focale 900 mm ?

 

3) Quel est le nom de la grandeur dont on donne la valeur en mm avec chaque oculaire ?

 

4) Dans la phrase suivante "Par suite de la courbure du miroir principal, les rayons de lumière sont courbés pour se concentrer en un point"

a) Que représente ce point pour le miroir principal ?

b) Le mot "courbés" employé à propos des rayons lumineux est impropre. Expliquer ce que veut dire l'auteur de la notice en l'utilisant.

Partie B : Analyse du fonctionnement

Modélisation du télescope de Newton :

Les notations utilisées dans les questions suivantes font référence au schéma de la feuille annexe (page 13) à consulter, à compléter et à remettre avec la copie.

Ce schéma ne respecte pas les dimensions.

Dans tout l'exercice, nous modéliserons :

• le miroir principal par un miroir sphérique de sommet S et de foyer F'₁ ;

• l'oculaire par une lentille mince convergente de centre optique O₂ et de focale f’₂ et dont l'axe optique est perpendiculaire à celui du miroir principal ;

• le miroir secondaire par un miroir plan dont le milieu M est placé sur l'axe optique du miroir principal et sur l'axe optique de l'oculaire.

1) Formation des images:

Le télescope est pointé vers un astre. On assimilera l'astre à un objet (AB), situé à l'infini et vu sous l'angle apparent q, le point A étant situé sur l'axe du miroir principal.

Le miroir principal donne de l'objet (AB) une image (A₁B₁) ;

a) Dans le télescope "114/900", quelle est la valeur de la distance A₁S ? Justifier brièvement.

b) (A₁B₁) joue le rôle d'objet pour le miroir secondaire qui en donne une image (A₂B₂);

Construire sur le schéma de la feuille annexe à remettre avec la copie,

l'image (A₂B₂). Justifier brièvement.

(A₂B₂) est examinée à travers l'oculaire qui en donne une image définitive (A'B’) à l'infini.

c) Placer les foyers image F'₂ et objet F₂ de l'oculaire pour que l'image définitive soit rejetée à l'infini.

d) Construire deux rayons émergents de l'oculaire et issus de B₂ ;

e) Construire, à travers la totalité de l'instrument, la marche du faisceau lumineux issu de B et limité par les deux rayons incidents fléchés.

 

2) Grossissement:

L'observateur qui regarde dans le télescope voit l'image définitive sous l'angle q'.

On définit le grossissement dans le cas d'une vision à l'infini G = q' / q; q et q' sont exprimés en radian.

a) Établir que G est aussi égal au quotient de la distance focale du miroir principal par celle de l'oculaire

(les angles sont petits : sinq » tan q » 8 (rad)).

b) Quel oculaire doit-on choisir pour que le grossissement soit 150x ?

 

 

 

©Sciences Mont Blanc