Chap 14 – Satellites et planètes

I ) Histoire :

Copernic Nicolas, montre que la Terre et les autres planètes du système solaire, tournent autour du Soleil (1543).

Kepler formule trois lois sur le mouvement des planètes autour du Soleil (1609).

II ) Notions mathématiques :

1) Ellipse :

Une ellipse est l'ensemble des points dont la somme des distances à deux points fixes

( les ......... F et F' ) est .................. : 

.... + .... = AA’ = 2a    (AA’ grand axe , BB' petit axe)

Un cercle est une ellipse dont les deux foyers sont ................. AA’ = ..... = ... = 2 .. 

( r : rayon du cercle)  ,  a = ...

Remarque : Pour tracer une ellipse, on peut utiliser une ficelle de longueur 2a et on en fixe les extrémités avec 2 punaises à l'emplacement des foyers. On trace l'ellipse en tendant la ficelle avec le crayon et en tournant autour des foyers.

2) Repère de Frenet :

Ce repère mobile est défini par deux vecteurs unitaires et .

Le vecteur unitaire   est ............. à la trajectoire et orienté dans le sens du mouvement.

Le vecteur unitaire est ......................... à la trajectoire et orienté vers l'............. de la courbe.

III ) Les lois de Kepler :

1) Première loi de Kepler :

Dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire du centre d'une planète est une ........... dont le Soleil S est l'un des ...........

2) Deuxième loi de Kepler :

Dans le référentiel héliocentrique, les ........ balayées par le  segment SP reliant le centre du Soleil S et celui de la planète P pendant des durées égales sont ...........

Les aires jaune et orange sont ........... si elles sont balayées dans une même durée.

Si cette aire est centrée autour de A, la distance parcourue sur l'ellipse est alors la plus ............

La vitesse en A, point le plus rapproché du Soleil est donc la plus .............

Si cette aire est centrée autour de A', la distance parcourue sur l'ellipse est alors la plus ..........

La vitesse en A', point le plus éloigné du Soleil est donc la plus ............

3) Troisième loi de Kepler :

Dans le référentiel héliocentrique, le rapport entre le .......... de la période de révolution T d’une planète autour du soleil et le ........ du demi-grand axe ( a = AA'/2 ) de l'ellipse est ............. :

T... / a.... = .................      La constante ne dépend que de la .......... du .......... , elle est donc ................ pour toutes les planètes du système solaire.

Cas d'une trajectoire circulaire : a = ........ (D : diamètre) , a = ... .  3ème loi de Kepler : T.. / r... = ....

Les lois de Kepler sont valables pour les satellites de la Terre dans le référentiel géocentrique , ils ont une trajectoire circulaire dont le centre est celui de la Terre.

La constante figurant dans T.. /  RT.. = constante ne dépend alors que de la .........

IV ) Etude du mouvement circulaire uniforme d'un solide :

1) Vecteurs vitesse et accélération dans le repère de Frenet

La vitesse est ............... à la trajectoire :  = ....  .  ....   

L’accélérationest la somme de composantes tangentielleT et normaleN .

= d /dt = ..…… . + ............ .      (admis)

L'accélération est dirigée vers l'intérieur de la trajectoire.

aT = ………     :   accélération tangentielle .

aN = ………     :   accélération normale.

 

2) Mouvement circulaire uniforme :

Un solide de trajectoire circulaire à vitesse constante est animé d'un mouvement circulaire uniforme.

= ………   . Sa valeur v est …………. mais sa direction …….. 

On a donc  : dv/dt = ...  ,  aT = ...  ,  a = .... = ……… .   

Remarque :  v = ……….   où  ω est la vitesse angulaire.

Période de révolution (durée d’un tour) : v = …….. = …………..

T = ………….

 

V ) Loi de gravitation universelle : (rappel)

Deux corps A et B (à répartition sphérique de masse) exercent l'un sur l'autre une force attractive gravitationnelle dirigée par la droite AB.

A / B = - B / A = ..................................

AB : vecteur unitaire dirigé de A vers B. 

G : constante de gravitation universelle : G = 6,67.10 - 11 U.S.I

Au voisinage de la Terre, cette force est appelée le poids . 

F = P = ……… = ………….. ,  g = ………….

VI ) Etude du mouvement d'un satellite autour d'une planète

1) Satellite géostationnaire  : 

Il a une position …… dans le référentiel terrestre, il est toujours à la ………. d'un même point de la Terre.

Pour être géostationnaire, un satellite doit avoir une trajectoire ………… dans le sens de rotation de la Terre, dans un plan ………………… à l'axe Nord-Sud et comme tout satellite terrestre, son centre est celui de la ………., la trajectoire est donc dans le plan de ……………….

Sa période T de révolution doit être égale à celle de la …….. (≈ …. h) et cela impose une altitude de …………. km.

2) Satellite Titan autour de Saturne :

Titan, le plus gros satellite de Saturne, situé à une distance R de Saturne. L’excentricité orbitale des satellites étant très faible, on supposera leurs trajectoires circulaires.

Saturne (de centre S) et ses satellites sont des corps dont la répartition des masses est à symétrie sphérique. Les rayons des orbites des satellites sont supposés grands devant leur taille.

On considère que la seule force gravitationnelle exercée sur Titan provient de Saturne.

Données :    G = 6,67.10-11 S.I. :   constante de gravitation universelle.

Titan  :     RT = 1,22.106 km (rayon de l’orbite de Titan).

Saturne :  RS = 6,0.104 km (rayon de la planète Saturne) ; TS = 10 h 39 min (période de rotation de Saturne sur elle-même).

MS = 5,69.1026 kg  (masse de Saturne).

1) Définir le référentiel d'étude.

2) Nommer la (les) force(s) extérieure(s) appliquée(s) au satellite Titan, de masse MT.

3) Schématiser Saturne, Titan, et la(les) force(s) extérieure(s) appliquée(s) sur Titan.

4) Donner l’expression vectorielle de cette(ces) force(s).

5) Exprimer l'accélération vectorielle du centre d’inertie T de Titan en précisant la loi utilisée.

6) On se place dans le repère orthonormé ( , ) centrée en T dans laquelle est un vecteur unitaire porté par la tangente à la trajectoire et orienté dans le sens du mouvement et un vecteur unitaire perpendiculaire à et dirigé vers l’intérieur de la trajectoire.     = at . + an .

Donner les expressions littérales de at et de an en fonction de la vitesse v du satellite.

7) A quelle composante se réduit l’accélération vectorielle de Titan dans le repère ( , ) ?

Compléter le schéma précédent, avec le repère ( , )  et l’accélération a de Titan.

8) Montrer que le mouvement de Titan est uniforme.

9) Retrouver l’expression de la vitesse de Titan orbite autour de Saturne : v = (G.MS / RT)

Après le survol de Titan, la sonde Cassini a survolé le satellite Encelade en février 2005.

Dans le référentiel saturno-centrique, le satellite Encelade a un mouvement de révolution circulaire uniforme, dont la période (en jour terrestre), est TE = 1,37 et le rayon est RE.

10) Déterminer une relation liant la période T d’un satellite, sa vitesse v et le rayon RE de son orbite.  Sa vitesse de révolution autour de Saturne est donnée par : v = (G.MS / R)

11) Retrouver la troisième loi de Kepler  T2 / RE3 = 4 π2 / (G.MS)

12) Déterminer la valeur du rayon RE de l’orbite d’Encelade.

On cherche à déterminer l’altitude h à laquelle devrait se trouver la sonde Cassini pour être saturno-stationnaire (immobile au-dessus d’un point de l’équateur de Saturne).

13) Quelle condition doit-on avoir sur les périodes TS (rotation de Saturne sur elle-même) et TC (révolution de Cassini autour de Saturne) pour que la sonde soit "saturno-stationnaire" ?

14) Montrer que l’altitude h de la sonde peut s'écrire : h = 3 (TC2.G.MS / (4 π2) – RS

15) Calculer la valeur de h.

 

Solution :

...........................................

 

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