Exercices – Chap 10 – Oscillations libres dans un circuit RLC

ex 6 p 185

a)     T = 2 π . √¯(L . C)  

b)    u = L.di/dt  ; [L] = U.T/ I ; q = C.u_C ; i = dq/dt  ; [C] = I .T / U;  [LC] = (U.T.I).(I .T / U) = T²
[2 π √¯(L . C)] = [L.C]^1/2 = T  ;  la pseudo-période T est bien homogène à un temps

 

ex 7 p185

1) Les tensions u_L et u_R sont fléchées dans le sens respectant la convention récepteur , u et i de sens contraire.
Loi d'additivité des tensions :   u_L = - u_C (1)

2) u_L = L.di/dt

3) q = C.u_C  ; i = dq /dt  ;  i = C.du_C/dt

4) (1)   L.di/dt = - u_C   ⇒ L.C.d²u_C/dt² = - u_C

5) a) u_C = a.cos( Ω₀.t + b )  ;  du_C/dt = - ω₀.a.sin( ω₀.t + b )
d²u_C/dt² = - ω₀².a.cos( ω₀.t + b )
- ω₀².a.L.C.cos( ω₀.t + b ) = - a.cos( ω₀.t + b )  ⇒  ω₀² = 1 / LC   ⇒  ω₀ = 1 /√¯(L . C)

b) A t = 0 s , u_C = a.cos b = E = u_{C max} = a  ⇒ b = 0  et a = E = 6,0 V

c)     u_C = E.cos( ω₀.t ) avec ω₀ = 1 /√¯(L . C)

 

ex 8 p 185

a)     schéma

b)    i = dq/dt  ; q = C.u_C   ⇒ i = C.du_C/dt

c)     du_C/dt = - ω₀.E.sin(ω₀.t)  ⇒ i = -ω₀.C.E.sin(ω₀.t)

d)    A la date t = 0 s, la bobine s'oppose au variation du courant, i est minimale.

On retrouve ce résultat avec l'expression de i.

 

 

ex 9 p 186

a)     u_C = U_m.cos( ω₀.t)  ;  i = dq/dt = C.du_C/dt = - C.ω₀.U_m.sin(ω₀.t)

b)    T₀ = 2 π / ω₀

c)      

d)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ex 10 p 186

a)     L'amortissement est du à des pertes d'énergie par effet joule dans le conducteur ohmique, la bobine peut aussi avoir une résistance interne, dans ce cas, elle consomme aussi de l'énergie.
On peut diminuer cet amortissement en limitant les valeurs de résistance des composants cités.

b)    Si on peut augmente trop l'amortissement, il n'y a plus d'oscillations , le régime est apériodique

c)     Les oscillateurs C et D correspondent à la courbe n°1, il n'y a pas d'amortissement.
L'oscillateur A correspond à la courbe 3, le régime permanent n'est pas encore atteint.
L'oscillateur B correspond à la courbe 2, il y a amortissement des oscillations.

 

ex 11 p 186

a)     Sur la courbe , la pseudo-période peut se déterminer entre 2 passages de la courbe par 0 dans le même sens de variation.

T ≈ 1,4 ms.

b)    T = 2 π √¯(L . C)  ; T² = 4 π².L.C 
C = T² /(4 π².L) = (1,4.10^-3)² / (4 x (3,14)² x 44.10^-3) = 1,1.10^-6 F = 1,1 μF

 

c)     La pseudo-période ne change pas, mais l'amplitude du signal décroît plus vite

 

d) Si C' = C / 4 , T ' = T / 2, mais l'amortissement est le même.

 

 

 

ex 12 p 187

I ) a) On ferme d'abord l'interrupteur K₁ pour charger le condensateur.
b) La grandeur visualisée montre des oscillations amorties, elle correspond donc à la tension u_C du condensateur.
c) Le circuit est le siège de la décharge avec oscillations libres amorties.
d) La pseudo-période T a une valeur de 3,1 div , soit 0,31 ms.
e) En considérant que le bord gauche de l'écran représente l'instant initial.
A t = 0 s, u_C = k_V.N_V = 2 x 3 = 6 V.   E_{C 0} = ½ C.u_C² = ½ 0,3.10^-6 x 6² = 5,4.10^-6 J
A t = 2T , u_C = k_V.N_V = 2 x 1,8 = 3,6 V     E_{C 2T} = ½ C.u_C² = ½ 0,3.10^-6 x 3,6² = 1,9.10^-6 J
ΔE_C = (1,9 – 5,4).10^-6 = -3,46.10^-6 J  Cette énergie est libérée sous forme de chaleur.

II ) 1) Pour compenser les pertes dues au conducteur ohmique , il faut que R₀ = R = 13 Ω
2) a) La pseudo-période T a une valeur de 6,6 div , soit 3,3.10^-4 s.
T = 2 π √¯(L . C);  L = T ² / (4 π² C) = (3,3.10^-4)² / ( 4 x 3,14² x 0,3.10^-6) = 9,2.10^-3 H = 9,2 mH
b) Si R₀ < R , les oscillations seraient un peu amorties au cours du temps. La pseudo-période T se changerait pas et l'amplitude des oscillations diminue.

 

ex 13 p 187

1)     T₀ , pseudo-période est la durée séparant deux dates successives où la tension aux bornes du condensateur est maximale.

La réponse 1 est fausse car la tension maximale diminue au c ours du temps. La réponse 3 ne convient pas car la tension passe par 0 au bout de T/ 2.

2)     L'amortissement des oscillations dépend de la valeur de R, car il est du à la perte d'énergie par effet joule dans le conducteur ohmique.

3)     A la date t = 0 s, l'énergie est entièrement stockée dans le condensateur.

4)     a) u_C = E.cos (ω₀.t)
b) R ≈ 0 Ω . Le circuit se résume donc à un circuit série constitué d'un condensateur et d'une bobine .
La loi des tensions donne : u_L = - u_C (1) ; u_L = L.di/dt ;  q = C.u_C ;  i = dq/dt = C.du_C/dt
(1) L.C.du_C/dt + u_C = 0

 

ex 14 p 187

I ) 1) La voie 1 visualise la tension u_C           2) La voie 2 visualise la tension – u_R (ou –R.i)

II ) 1) u_C = - u_L  ⇒  q / C + L.di/dt = 0  ⇒ q + L.C.d²q/dt² = 0           2) T₀ = 2 π √¯(L . C)

III ) 1) T₀₁ = T₀₃ = 2 π (1,0 x 4,0.10^-6)^-1/2 = 12,6 ms ; T₀₂ = 2 π (0,2 x 4,0.10^-6)^-1/2 = 5,62 ms
2) T_a = 14 ms , T_b = 14 ms  , T_c = 7 ms

3) D'après les valeurs de pseudo-période, l'expérience E₂ correspond au graphique c.
Pour distinguer les 2 autres expériences, il faut comparer les valeurs de R, pour la plus grande valeur R, l'amortissement sera plus important, cela correspond au graphique b et à l'expérience E₁.
Le graphique a correspond donc à l'expérience E₃ .

IV ) 1) E_C = ½ C.u_C²   et E_L = ½ L.i²
La courbe 1 est la somme des deux autres, elle représente l'énergie totale.
La valeur de la courbe 3 est maximale à t = 0s, il s'agit donc de E_C car à cet instant, le condensateur est complètement chargé, alors que i = 0 A, E_L = 0 J (courbe 2).

2) L'énergie totale est décroissante car il y a des pertes par effet joule dans le conducteur ohmique.

3) A t = 0 s , E_T = E_C = 40 μJ  .  A t = 10 ms , E_T = E_L = 12,5 μJ.    ΔE_T = 27,5 μJ

 

ex 15 p 188

I ) 1)  T₀ = 2 π √¯(L . C)
2) a) u = L.di/dt  ; [L] = U.T/ I ; q = C.u_C ; i = dq/dt ; [C] = I .T / U; [LC] = (U.T.I).(I .T / U) = T²
[2 π √¯(L . C)] = [L.C]^1/2 = T  ;  la pseudo-période T₀ est bien homogène à un temps.

b) T₀ = 2 x 3,14 x (40,0.10^-3 x 3,29.10^-6) ^{–1 / 2} = 2,28 ms

II ) 1) Les oscillations sont dits pseudo-périodiques car la valeur maximale décroît en fonction du temps, il y a amortissement des oscillations.

2) Sur la durée enregistrées, il y a 6,25 pseudo-périodes : T = 14,2 / 6,25 = 2,27 ms

3) a) f = 1 / T = 1/ 2,27.10^-3 = 440 Hz. La note est donc un La₃

b) f ' = 880 Hz = 2 f  ⇒ 1/ T ' = 2 / T ⇒ T ' = T / 2= 2 π √¯(L . C / 4)  ⇒  C ' = C / 4
Il faut donc diviser la capacité par 4 pour obtenir le La₄ .

c) u_AB(t₃) = 0,77⁵ u_AB(t₂) = 0,27 u_AB(t₂)
Graphiquement , u_AB(t₂) = - 3,7 V  et u_AB(t₃) = -1 .  u_AB(t₃) / u_AB(t₂) = 0,27

d)    t / T = 40/ 2,27 = 17,6.  u_AB(t₂+ 17T) / u_AB(t₂) = 0,77¹⁷ = 0,012  ( 0,77¹⁸ = 0,009)
Après 0,04s, l'amplitude des oscillations est donc inférieure à 1 %.

III ) 1) A l'instant t₁ , u_AB = 0 V, q = 0 C, le condensateur est déchargé, c'est dans la bobine que l'énergie est stockée.

2) A l'instant t₂ , u_AB = - 3,7 V , le condensateur est chargé, il stocke l'énergie.

3) L'énergie de l'oscillateur diminue au cours du temps, il y a des pertes par effet joule.

 

ex 16 p 189

1) Dipôle RL   a) u_AB = E      b) Loi des tensions :   E = R.i₁ + L.di₁/dt
c) Cette réponse n'est pas à connaître mais à retrouver dans le cours :  i₁ = E/R (1 - e ^{– R.T / L} )
2) Dipôle RC   a) u_CB = E      b) Loi des tensions :   E = R.i₂ + q / C = R.dq/dt + q / C

c) q = E/R  ( 1 – e ^{– t / RC} )  ,  i₂ = dq / dt = C.E.e^{- t / RC}               d) E_C = C.u_C² = C.E²

3) a) C'est le condensateur qui impose le sens du courant dans le sens inverse de i₂ .

b)     Loi des tensions : u_C + R.i  = - R.i – u_L
  q / C + 2 R.dq/dt + L.d²q/dt² = 0

c)      si R ≈ 0 Ω ,   q + L.C.d²q/dt² = 0
solution :  q = a.cos (√¯(L . C).t) = q₀.cos (√¯(L . C).t)

 

 

©Sciences Mont Blanc