Exercices – Chap 09 – Dipôle RL

ex 6 p 167

1)     schéma

2)     a) u_L = r.i + L.di/dt      b) di/dt = 0   ;  u_L = r.i

3)     u_G = u_R + u_L   ;   E = R.i + r.i + L.di/dt

4)     a) en régime permanent,
E = ( R + r ).I  ;  I = E / (R + r)
b) I = 6,0 / (7 + 43) = 0,12 A

 

 

 

 

ex 7 p 167

a)     schéma

b)    La courbe de la voie B visualise u_R , or u_R=R.i 
i varie donc de la même façon que u_R.

 

c)     u(τ) = 0,63.u_{R max} = 0,63 x 4 = 2,5 V
D'après le graphique, τ = 0,2 ms

 

 

 

 

ex 8 p 168

U = 4,5 V ;  L = 0,5 H   ;  r = 0,5 Ω  ;  R = 45 Ω

a)     U = R.i + L.di/dt + r.i ; en régime permanent, U = (R + r).I ;  I = U/ (R + r) = 4,5/(45 + 0,5) ∣ 0,1 A

b)    E_L = L.I² = 0,5 x 0,5 x 0,1² = 2,5.10^-3 J

 

 

ex 9 p 168

a) τ = L / R           b) [τ] = [L / R] = [L]/ [R] = [U/(di/dt)] / [U / I] = ( [T].[U]/[i] ) / ([U]/[i]) = T  

τ a bien la dimension d'un temps.

 

 

ex 10 p 168   E = 6,0 V

1)     τ₃= 5ms ; τ₄= 3,5ms ; τ₂= 8ms ; τ₁= 16ms

2)     τ = L / R                  

3)      a) graphique
b) τ est donc proportionnel à 1/R
τ = k . 1/ R ;

4)     k = 0,02 / 0,025 = 0,8  ;
 τ = 0,8 / R

5)     L = k = 0,8 H

 

 

 

 

ex 11 p 168

1)     schéma

2)     0 = u_L + u_R'

3) u_R' = R'.i  ;  u_L = r.i + L.di/dt ; 
0 = R'.i + r.i + L.di/dt

4) a) di/dt =.a.e ^{b t} ;  0 =R.(c+a.e ^{b t})+L.b.a.e ^{b t}

⇒0 =R.c  ; c = 0   et   R.a+L.b.a = 0 ; b = -R/ L

A t = 0s, i = E / R = a             

b) i = E.R e ^{–R.t / L}

 

 

ex 12 p 168

1)     schéma

2)     E = u_L + u_R'

3)     u_L = L.di/dt +R.i ; u_R'= R'.i ; E = L.di/dt + r.i (1)

4)     a) i = c + a.e^b.t   di/dt = b.a.e^b.t
(1)  E = L.b.a.e^b.t + r.(c + a.e^b.t)
Il faut : E = r.c  et L.b.a + r.a = 0
c = E / r   et b = - r / L
b) à t = 0s , i = 0 = c + a  ;  a = - c = - E / r
c) i =  ( 1 – e^{– r.t / L} ).E / r
d) e ^{– r.t / L} tend vers 0 lorsque t est très grand, i tend vers E / r

 

ex 13 p 168

a)     La tangente à l'origine intercepte l'asymptote au temps τ = 7,5 ms

b)    τ = L/ R ; L= τ.R = 7.10^-3 x 150 = 1,1 H

c)     R' = 2 R ; τ' = L / R' = L / 2R = τ / 2.
La pente de la tangente à l'origine est donc 2 fois plus forte.

d)    L' = 2 L  ; τ' = 2 L / R = 2 τ .
La pente de la tangente à l'origine est donc 2 fois plus faible.

 

 

 

 

ex 14 p 169

a)     schéma

b)    u_L = L.di/dt

c)     u_L = L.(E/ R).(-R/ L).e ^{–R.t / L} = - E.e ^{– R.t / L}

 

 

 

 

ex 15 p 169

a)     D'après le graphique, la tangente à l'origine intercepte l'asymptote à τ = 6,5 ms

b)    τ = L / R  ; R = L / τ = 1,1 / 6,5.10^-3 = 169 Ω

c)     E' = 8,0 V. (tangente à l'origine identique )

 

 

 

 

ex 16 p 169

1)     La bobine s'oppose à l'établissement du courant dans sa branche. Le courant arrive donc plus vite dans la lampe L₁ car il n'y a pas de bobine dans cette branche.

2)     a) L'ensemble lampe L₁ - résistance R et le générateur sont branchée en parallèle : U = U_L1,R
U = u_L1 + u_R = (R + r ) . i₁
L'ensemble lampe L₂ - bobine et le générateur sont branchée en parallèle : U = U_{L2, L, R}
U = u_L2 + u_{L, R} = (R + r).i₂ + L.di₂/dt
b) En régime permanent, i₁ et i₂ sont constants. di₂/dt = 0 ; U = (R + r) . i₁ = (R + r) . i₂ ⇒ i₁ = i₂
c) On peut vérifier expérimentalement l'égalité i₁ = i₂ , en observant les ampoules ou plus précisément en branchant en série des ampèremètres devant chaque lampe pour mesurer i₁ et i₂ 

 

ex 18 p 170

a)     A l'établissement du courant, u_R = E.(1- e^{-t/ τ}), à la rupture , u_R= E.e^{-t/ τ}.
La courbe correspond donc à la rupture du courant.

b)    A l'établissement du courant, u_L = E.e^{-t/ τ}, à la rupture, u_L= -E.e^{-t/ τ}.Dans les 2 cas,∣u_L∣= E.e^{- t/ τ}
L'élève ne peut pas conclure car la courbe a la même allure dans les 2 cas

c)     ATTENTION, il y a une erreur d'énoncé, les valeurs de E ne correspondent pas aux courbes
Pour déterminer la valeur de E, il faut lire la valeur maximale de la tension.
Pour les courbes 1,4 et 5, E = 10 V et pour la courbe 3, E = 5 V
Pour L et R, il faut déterminer graphiquement τ et le comparer aux valeurs de τ, calculer avec les valeurs données de L et R.

Cas	A	B	C	D
L / R (en s)	5,5.10-3	2,75.10-3	5,5.10-3	3,5.10-3

On trace la tangente à l'origine et la droite asymptotique qui se croisent à t = τ.

Pour la courbe 1, on trouve τ ≈ 5,5 ms . Il s'agit donc du cas A.

Pour la courbe 3, on trouve τ ≈       ms . Il s'agit donc du cas …
Pour la courbe 4, on trouve τ ≈       ms . Il s'agit donc du cas    .

Pour la courbe 5, on trouve τ ≈       ms . Il s'agit donc du cas   

 

ex 19 p 171

a) En basculant l'interrupteur sur la position 1,le courant s'établit,c'est la courbe 2 qui correspond à une augmentation de l'intensité i.

b) En basculant l'interrupteur sur la position 2, il y a rupture de courant, c'est la courbe 1 qui correspond à une diminution de l'intensité i.

c)    τ est la durée au bout de laquelle l'intensité a atteint 63 % de sa valeur maximale.
i = E/R (1 - e ^{– t / τ})  ,  à t = τ ,  i = E/R.(1 - e^-1)  , 1 - e^-1 = 0,63 = 63 %

d) Lorsqu'on bascule l'interrupteur K sur la position 2, l'intensité est maximale à t = 0s, puis elle diminue et tend vers 0. Seule la dernière proposition ( i = E/R e^{- t / τ} ) correspond à cela.

e)  u_L = r.i + L.di/dt ,  en courant continu, di/dt = 0 , u_L = r.i.
La bobine est équivalente à un conducteur ohmique.

 

ex 20 p 171

1)     a) u_BM = L.di/dt       b) Le courant i et la tension u_AM sont de même sens, on a : u_BM = - R.i
c) u_BM = L.d(-u_AM/R)/dt = - L/R du_AM/dt
d) Sur une demi-période, u_AM est une droite de coefficient directeur a, du_AM/dt = a = constante.
u_BM = -L.a/R = constante. Quand a est positif, u_BM est négative et inversement.
La forme de l'oscillogramme est donc une tension créneau, constante sur une demi-période.

2)     aucune division sur les graphiques, impossible à faire !!!

 

ex 21 p 172   E = 10 V , L = 1,0 H , r = 10 Ω

a) En régime permanent, di/dt = 0 ,  E = r.I₀   ,  I₀ = E / r = 10 / 10 = 1 A. Cette valeur d'intensité est grande pour un tel circuit, c'est dangereux.

b)    Si on néglige la résistance interne de la bobine, E = u_K+u_L ,
u_K = E – L.Δi/Δt = 10 – 1 x 1 / 10.10^-3 = - 90 V

c)     C'est une grande tension qui explique l'étincelle produite à l'interrupteur.

d)    Grâce à cette dérivation, la bobine peut transférer l'énergie emmagasinée dans la résistance, d'où l'appellation "diode de roue libre".

 

ex 22 p 172   i = E/R (1 – e^{- t / τ} )  

1)     Si t → ∞, e^{- t / τ} →0 , i → E / R.  L'asymptote a donc pour équation i = E / R

2)     di/dt = E/R.e^{- t / τ} / τ = E/L.e^{- t / τ} .  La pente de la tangente à i à t = t₀ est E/L e^{- to / τ}  

3)     a) à t = 0 s, (di/dt)₀ = E/L
b) équation de la tangent :  i(t)  = E.t / L
c) La tangente à l'origine coupe l'asymptote lorsque  E.t / L = E / R  ⇒ t = L / R = τ

 

ex 23 p 172

1)     a) E = R'.i + L.di/dt + R.i = (R'+R).i + L.di/dt    i = a + b.e^{- t / τ}   ;  di/dt = -b/τ e^{- t / τ}
E = (R'+R).(a+b.e^{- t / τ} ) – L.b/τ .e^{- t / τ}   ⇒ E = (R'+R).a   et  (R'+R).b – L.b/τ = 0
a = E / (R'+R)  et τ = L / (R'+R)   ,  i = E / (R'+R) + b.e ^{– t / τ}   , à t = 0 s, i = 0 = E / (R'+R) + b
b = - E / (R'+R)  ⇒ i = E / (R'+R) ( 1 – e^{- t / τ} )   avec τ = L / (R'+R)
b) i_max = E / (R'+R)  , i / i_max = 1 – e^{- t1 / τ} = 0,99  ⇒ e^{- t1 / τ} = 0,01 ⇒ t₁ / τ =  ln 1/0,01
t₁ = τ. ln 100 = 4,6 τ.  A cette valeur, on considère que i a atteint sa valeur maximale, que le régime permanent est atteint.

2)       0 = (R'+R).i + L.di/dt  ;    0 = (R'+R).(a+b.e^{- t / τ} ) – L.b/τ .e^{- t / τ}  
⇒ 0 = (R'+R).a   et  (R'+R).b – L.b/τ = 0  ⇒  a = 0  et τ = L / (R'+R)   ,  i = b.e ^{– t / τ}  
à t = 0 s, i = E / (R'+R)  = b    ⇒ i = E/(R'+R) e^{- t / τ}    avec τ = L / (R'+R)

3)    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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