Exercices – Chap 08 – Dipôle RC

ex 6 p 150

 

1)     a) Le courant part du pôle + du générateur et circule vers le pôle – du générateur.

b) Les électrons circulent en sens inverse du courant, ils partent de l'armature A qui devient donc positive.

c) La convention récepteur impose que l'intensité I et la tension U_C soient de sens opposé.

d) La position 1 de l'interrupteur correspond à la charge du condensateur

 

 

 

 

 

2) a) En basculant l'interrupteur sur la
position 2, le courant va circuler en sens inverse. Les électrons partent de l'armature B qui est donc positive.
b) Le courant circule en sens inverse .
c) L'intensité du courant a un signe négatif selon la convention utilisée.

 

 

 

 

 

ex 7 p 150

a)     i = dq_A/dt

b)    voir schéma

c)     q_A = C.u_C

d)    i = C .du_C/dt

 

 

 

ex 8 p 150

a)     τ = R.C

b)    [τ] = [RC] = [R] . [C] = ([U] / [I]) . ([Q] / [U]) = ([Q] / [I]) = T  ;  τ a la dimension d'un temps

 

ex 9 p 150

1)     Le courant circule de B vers A.
Les électrons partent de B qui est donc positive.

2)     Loi d'additivité des tensions : E = u_R + u_C

3)     u_R = R.i  ;  i = dq/dt   

4) i = C.du_C/dt 

5) E = R.C.du_C/dt + u_C

6)   u_C = c + a . e ^{b t}   ;   du_C/dt = a.b.e ^{b t}

a)   E = R.C.a.b.e ^b.t + (c+a.e ^{b t}) (valable quelque soit t),

il faut E = c et R.C.a.b+a = 0 ⇒ b = -1/(R.C)

b)    A t = 0 s , u_C = 0 V ⇒ c + a = 0 ; a = - c = - E   

c)     u_C = E.( 1 – e ^{– t / RC} )

  

ex 10 p 151   C = 1,0 F  et E = 5,0 V

a)     E = m . g . h = 0,2 x 9,8 x 20.10^-2 = 0,39 J

b)    E_Cédée = E_Finale - E_Initiale = ½ C.u_C² - ½ C.E² = ½ x 1,0 x ( 4,0² - 5,0² ) = - 4,50 J

    E_reçue = 4,50 J

c)     r = E / E_C = 0,39 / 4,5 = 0,087 = 8,7 %

 

ex 11 p 151

u_C = E ( 1 – e ^{- t / RC} )

a)     schéma

b)    i = dq_A/dt  ;  q_A = C.u_C  ;  i = C.du_c/dt

c)     i = C.( (E/(R.C)).e ^{– t / RC} ) = (E/R).e ^{– t / RC}

d)    A t= 0 s ; i = E / R valeur maximale

 

 

ex 12 p 151

a)     schéma             b) u_R + u_C = 0

c) u_R = R.i   ;   i = dq_A/dt  ;   i = C.du_C/dt
R.C.du_C/dt + u_C = 0

d)    R.C.b.a.e ^{b t} + a.e ^{b t} = 0 ( valable quelque soit t)
On a donc : R.C.b + 1= 0 ; b = - 1/(R.C)
A t = 0 s , u_C = q_A/ C= a ⇒ u_C = (q_A/ C).e ^{– t / RC} 

 

 

 

ex 13 p 151  

R = 10 kΩ  ;  E = 5,0 V

a)     D'après le graphique , τ = 22 s

b)    τ = R.C  ;   C = τ/ R = 22/ 10.10³
C = 2,2.10^-3 F = 2,2 mF

c)     τ' = 2 R.C = 2 τ

d)    τ'' = R.C/ 2 = τ / 2

 

 

 

 

 

 

ex 14 p 152   
C = 2 200 μF = 2,2.10^-3 F  ;  E = 4,5 V

a)     D'après le graphique , τ ≈ 3,5 s

b)    τ = R.C 
R = τ / C = 3,5 / 2,2.10^-3 ≈ 1 600 Ω

c)     E' = 9,0 V  ; τ est inchangé

 

 

 

 

 

ex 16 p 152

a)     Cette courbe correspond à la charge d'un condensateur car sa tension u_C augmente de 0 à E qui vaut ici 4,0 V .

b)    i =dq_A/dt ; i = C.du_C/dt . Si u_{C déch} = E (1- e ^{-t / RC} )  , i = (E / R).e ^{– t / RC} .
Si u_{C ch} = E.e ^{-t / RC} , i = - (E / R).e ^{– t / RC}
∣i∣ est donc identique pour la charge et la décharge, on ne peut donc pas conclure.

c)     Les courbes 1 et 2 ont un maximum de 4 V, elles correspondent aux cas a et d car u_{C max} = E
τ₁ < τ₂  et τ = R.C   ;   τ_a = 100.10³ x 2,2.10^-6 = 0,22s  ; τ_d = 0,47s.
La courbe 1 correspond au cas a et la courbe 2 au cas d.
Les courbes 3 et 4 ont un maximum de 2 V, elles correspondent aux cas b et c car u_{C max} = E
τ₃ < τ₄  et τ_b = 0,44s  ; τ_c = 0,22s. La courbe 3 correspond au cas c et la courbe 4 au cas b.

 

ex 17 p 153

a)     Le sens de circulation du courant est de A vers B

b)    La courbe a augmente et correspond donc à la tension u_C

c)     τ est la durée au bout de laquelle le condensateur est chargé à 63 %

d)    u_C = E(1 - e ^{– t / τ} )    

e)     E_C = ½ C.u_C ²  ;  La tension u_C lorsqu'il y a 2 condensateurs est moitié de celle lorsqu'il n'y en a qu'un.

L'énergie E_C est donc divisée par 4.

 

ex 18 p 153   f = 200 Hz , U_min = 0 V , U_max = 4 V , R = 100 Ω

1) a) La courbe B correspond à la tension du condensateur u_C .

b)    La valeur u_{C max} vaut 4 V . (i = 0 A , u_R = 0 V)
D'après le montage, u_G = u_R + u_C .
u_{R max} = u_G – u_{C min} = 4 – 0 = 4 V

c)     Choix de la base de temps :
L'écran a 10 divisions et cela doit correspondre à une période 

T = 1/ f = 1/ 200 = 5.10^-3 s = 5 ms .
Il faut régler la durée de balayage sur 0,5 ms/div

Choix de la sensibilité verticale :
La partie positive de l'écran a 4 divisions et cela doit correspondre à 4 V pour la voie A, valeur max de u_G ,

il faut donc choisir 1 V / div pour la voie A.

Pour la voie B , 2 divisions doivent valoir 4 V, valeur max de u_C, il faut donc choisir 2 V/div pour la voie B.

d)    R' = 20 R, τ' = 20 τ , la courbe devient presque une droite et l'asymptote est atteinte plus tard.
L'allure est triangulaire ou dent de scie.
R' = R/ 20 , τ' = τ/ 20 , l'asymptote est atteinte très vite. L'allure est presque celle d'un créneau.

 

2) a) La courbe B représente la tension u_R et également l'intensité i au coefficient 1/R près.

b) C ' = 20 C, τ' = 20 τ , la courbe ressemble plus à une droite. L'asymptote est atteinte plus tard.
C'' = C / 20 , τ'' = τ / 20 , l'asymptote est atteinte très vite, la courbe ressemble à un créneau.

 

 

 

 

3) a) schéma
b) charge :  U = u_R + u_C = R.i + u_C  (1)  ; 
i = dq_A/dt   ;  q_A = C.u_C  ; i = C.du_C/dt
(1)  U = R.C.du_C/dt + u_C
c) u_C = U ( 1–e^{–t / RC} ) ; du_C/dt =(U/(R.C)).e ^{– t / RC}
A t = 0s, u_C= U, cela respecte la condition initiale
R.C.( (U/(R.C)).e ^{– t / RC})+U.( 1 – e ^{–t / RC} ) = U.e ^{–t / RC}+U.( 1 – e ^{–t / RC} ) = U  ,
l'équation (1) est vérifiée
d) On trace la tangente à l'origine et l'asymptote, leur intersection donne la valeur de τ sur l'axe des temps : τ ≈ 3 ms . 

τ = R.C  ;  C = τ / R = 3.10^-3 / 100 = 3.10^-5 F = 30 μF

 

ex 19 p 154

a) E_{C 0} = ½ C.u_{C 0}² = 0 J        

b) u_{C f} = E  ;   E_{C f} = ½ C.E²     

c) C' = 2 C  ; E_C' = ½ 2.C.u_C ² = 2 E_C
Un condensateur de grande capacité permet de stocker plus d'énergie.
d) Un flash sert à émettre beaucoup d'énergie pendant un temps très petit, cette capacité est indiquée par la puissance, P_C = E_C / t .

 

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